Autokorrelaatio

Tilastotieteessä ja signaalinkäsittelyssä autokorrelaatio on matemaattinen työkalu, joka kuvaa aikasarjan havaintojen välistä riippuvuutta havaintojen välisen aikaeron funktiona. Voidaan ajatella, että aikasarjassa esiintyy autokorrelaatiota silloin, kun sarja ei ole täysin satunnainen, vaan uudet havainnot riippuvat jollain tavalla olemassa olevista havainnoista.

Yllä 100 satunnaisluvusta koostuva sarja, johon on piilotettu sinifunktio. Alla autokorrelaatio.

Määritelmä

Autokorrelaatio määritellään odotusarvona $k\in \mathbb {N}$:n suhteen

$r_{x}(n)=\operatorname {E} \{x(k)x^{*}(k-n)\}$,

missä $x(n)$ on aikasarjan näytteen arvo hetkellä $n$. Symboli $^{*}$ tarkoittaa kompleksikonjugointia ja reaaliarvoiselle aikasarjalle tällä ei siis ole vaikutusta.

Valkoisen kohinan autokorrelaatio

Olkoon $v(n)$ jono normaalijakautunutta kohinaa odotusarvolla $\operatorname {E} \{v(n)\}=0,\forall n$, jonka eri ajanhetkiltä peräisin olevat näytteet ovat korreloimattomia. Määritelmän mukaan kaksi satunnaismuuttujaa ovat korreloimattomat, jos niille pätee

$\operatorname {E} \{XY\}=\operatorname {E} \{X\}\operatorname {E} \{Y\}$.

Korreloimattomuudesta ja kohinan $v$ nolla-keskiarvoisuudesta seuraa, että

$r_{x}(n)=\operatorname {E} \{v(k)v^{*}(k-n)\}={\begin{cases}\operatorname {E} \{v(k)v^{*}(k)\}=\operatorname {Var} \{v\}=\sigma ^{2}\quad ,n=0\\\operatorname {E} \{v(k)\}\operatorname {E} \{v^{*}(k-n)\}=\operatorname {E} \{v(k)\}\operatorname {E} \{v^{*}(k-n)\}=0\quad ,n\neq 0\end{cases}}$

Tässä $\operatorname {Var}$ on varianssi-operaattori.

Autokorrelaation estimointi

Käytännön sovelluksissa tilastollista autokorrelaatiota ei tunneta, vaan se joudutaan estimoimaan havaitusta aineistosta.

Autokorrelaatiomenetelmä

Autokorrelaatio estimoidaan menetelmällä

${\hat {r}}_{x}(k)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=k}^{N}x(n)x^{*}(n-k),\quad k=0,...,N$

Tämä estimaattori on harhainen, mutta asymptoottisesti harhaton.

Esimerkkejä

R

Tuotetaan R:llä aikasarja käyttäen autoregressiomallia $X_{t}=0,95\cdot X_{t-1}+\varepsilon _{t}$, jolloin voidaan odottaa sarjasta löytyvän selvää autokorrelaatiota sarjan aikaisempien arvojen välillä:

rand = rnorm(1000)
x = rep(0, 1000)
for (i in 2:1000) { x[i] = 0.95 * x[i - 1] + rand[i] }
acf(x, 20, pl=FALSE)

Autocorrelations of series ‘x’, by lag

    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11    12 
1.000 0.912 0.830 0.743 0.666 0.598 0.541 0.486 0.441 0.391 0.341 0.295 0.256 
   13    14    15    16    17    18    19    20 
0.216 0.191 0.173 0.158 0.140 0.124 0.105 0.083 

Katso myös

• Spatiaalinen autokorrelaatio

Lähteet

• Hayes, Monson H. 1996: Statistical signal processing and modeling, Wiley & sons.

Kirjallisuutta

• Oppenheim, Alan V. & Schafer, Roland W.: Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Inc., 1975. ISBN 0-13-214635-5.

• Rabiner, Lawrence R. & Gold, Bernard: Theory and Application of Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Inc., 1975. ISBN 0-13-914101-4.