Ero sivun ”Algebrallinen geometria” versioiden välillä

'''Algebrallinen geometria''' on [[matematiikka|matematiikan]] osa-alue, joka tutkii geometriaa[[geometria]]a [[abstrakti algebra|abstraktin algebran]] avulla. Algebrallisen geometrian voidaan ajatella olevan algebrallisten [[yhtälöryhmä|yhtälöryhmien]] ratkaisujoukon tutkimista. Kun yhtälöissä on useampi kuin yksi tuntematon, yhtälön geometrinen luonne helpottaa usein ilmiön ymmärtämistä. Voidaan sanoa, että algebrallinen geometria alkaa siitä, kun yhtälön ratkaisu jää sivuseikaksi ja ratkaisujen muodostama joukko on yhtä tärkeä kuin yhden yksittäisen ratkaisun tunteminen. Tämä johtaa siihen, että aloitteleva algebrallisen geometrian opiskelija kohtaa monia uusia tekniikoita käsitellä yhtälöitä alkaessaan opiskella algebrallista geometriaa.

Klassisessa algebrallisessa geometriassa päämielenkiinto kohdistuu polynomien[[polynomi]]en yhteisten [[nollakohta|nollakohtien]] tutkimiseen. Esimerkiksi jos [[taso]] leikkaa [[Pallo (geometria)|palloa]], tuloksena syntyy [[ympyrä]].

Ratkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa [[projektiivinen avaruus|projektiivisessa avaruudessa]]. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin [[kompaktius|kompaktin]] [[Hausdorffin avaruus|Hausdorffin avaruuden]]. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä [[Aleksandrovin kompaktisointi]]. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x³):lla on [[matemaattinenSingulariteetti singulariteetti(matematiikka)|singulariteetti]] yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x²) on sileä varisto.