Versio 18. elokuuta 2009 kello 08.11 muokkaa SilvonenBot (keskustelu \| muokkaukset) botit 136 397 muokkausta p Botti: ca:Teorema del cosinus on suositeltu artikkeli ← Vanhempi muutos		Versio 5. syyskuuta 2009 kello 20.50 muokkaa kumoa The World (keskustelu \| muokkaukset) seulojat 569 muokkausta p Palautettu selvempi todistus Uudempi muutos →
Rivi 7: ==Todistus== [[Kuva:~~Kosinilauseentod~~CosenosPorPitagoras1.~~jpg~~svg\|right\|thumb\|250px\|Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä]] Olkoon <math>CD</math> kolmion <math>ABC</math> kärjestä <math>C</math> piirretty korkeusjana. Selvästi <math>c=b\cos\alpha+a\cos\beta</math> (myös silloin, kun jompikumpi kulmista <math>\alpha</math> tai <math>\beta</math> on tylppä). [[Sinilause\|Sinilauseen]] mukaan <math>b\sin\alpha=a\sin\beta</math>. Siis <math>c^2=c^2+0^2=(b\cos\alpha+a\cos\beta)^2+(b\sin\alpha-a\sin\beta)^2=b^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+a^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta)+2ab(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=a^2+b^2+2ab\cos(\alpha+\beta)=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.</math> Tässä käytettiin hyväksi kosinin yhteenlaskukaavaa ja sitä, että <math>\cos(\alpha+\beta)=\cos(180^{\circ}-\gamma)=-\cos\gamma</math>. Olkoot ''h'':n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta ''b'' sivujen ''a'' ja ''c'' yhtymään. Tällöin ''h'' voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla: <math> \begin{align} \begin{cases} h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\ h^2 = c^2 - u^2 \end{cases} \Rightarrow a^2 - (b-u)^2 = c^2 - u^2 \end{align} </math> Edelleen sieventäen: <math> \begin{align} a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) & = c^2 - u^2 \\ a^2 - b^2 + 2bu - u^2 & = c^2 - u^2 \\ a^2 - b^2 + 2bu & = c^2 \\ u & = \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b} \end{align} </math> Kosini kulmalle ''γ'' on määritelty kuvan mukaan seuraavasti: <math> \begin{align} cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} \\ & = \frac{b - \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\ & = \frac{\frac{2b^2}{2b} + \frac{-b^2 + a^2 - c^2}{2b}}{a} \\ & = \frac{2b^2 - b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ 2ab \cdot cos(\gamma) & = a^2 + b^2 - c^2\\ \Rightarrow c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma) \end{align} </math> ==Kosinilause ja vektorit==

Ero sivun ”Kosinilause” versioiden välillä