Ero sivun ”Harmoninen värähtelijä” versioiden välillä

 

:<math>E = \frac{1}{2} k A^2.</math>.

 

==Pakotettu harmoninen värähtelijä==

Kun <math>\omega_0</math>-<math>\omega</math> on hyvin pieni on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri, tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.

 

 

[[Image:Damped spring.gif|right|frame|Vaimennettu jousi-massasysteemi.]]

[[Image:Damping.svg|thumb|300px|Systeemin käyttäytyminen riippuu vaimennuskertoimesta <math>\zeta</math>.]]

 

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä:

 

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään <math> a= c/2m </math>ja <math>b = 1/2m\sqrt{c^2-4mk}</math>

 

====Ylivaimennus====

 

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että c2 > 4mk differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska a,b>0 ja b<a. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa kun t-> infinity. Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman x=0 korkeintaan kerran.

 

====Alivaimennus====

 

Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että c2<4mt differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

====Kriittinen vaimennus====

 

Jos vaimennuskerroin on c2=4mk differentiaaliyhtälön ratkaisu on

 

 

Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman x=0 tasan kerran ja x->0, kun t->infinity.

 

==Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijä==

 

Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla Fd. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on

*[http://hypertextbook.com/chaos/41.shtml Artikkeli harmonisesta värähtelijästä Hypertextbookissa]

*[http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/osc_damped_driven.shtml Animaatio vaimennetusta ja pakotetusta harmonisesta värähtelijästä]

 

==Lähteet==