Ero sivun ”Ulkomitta” versioiden välillä

'''Ulkomitta''' on [[mittateoria|mittateoriassa]] esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda [[mitta|mittoja]].

 

 

Olkoon <math>X</math> joukko. Kuvaus <math>\mu^*: \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty]</math> on '''ulkomitta''' jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

# <math>\mu^* (\emptyset) = 0</math>

# Jos <math>A \subset B \subset X</math>, niin <math>\mu^*(A) \leq \mu^*(B)</math>

 

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä ''monotonisuudeksi'' tai ''kasvavuudeksi'' ja ehtoa (3) ''subadditiivisuudeksi''.

 

 

Jos <math>\mu^*</math> on ulkomitta <math>X</math>:ssä, niin joukkoa <math>A \subset X</math> kutsutaan <math>\mu^*</math>''-mitalliseksi'' jos ja vain jos kaikilla <math>E \subset X</math> pätee <center><math>{\mu}^*(E) = {\mu}^*(E \cap A) + {\mu}^*(E \cap \complement A)</math>.</center>

Mittateoriassa osoitetaan, että esimerkiksi mitallisten joukkojen numeroituvat leikkaukset ja yhdisteet ovat myös mitallisia. Itse asiassa voidaan osoittaa, että <math>\mu^*</math>-mitallisten joukkojen perhe eli ns. <math>\mu^*</math>''-algebra'' <center><math>\mathcal{M}_{{\mu}^*}(X) = \lbrace A \subset X \mid A \mbox{ on } {\mu}^*\mbox{-mitallinen} \rbrace</math> </center> on eräs joukon X [[sigma-algebra]].

 

 

Jos <math>B_1 \subset B_2 \subset ...</math> ovat <math>\mu^*</math>-mitallisia joukkoja, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (B_n)</math>.</center>

Jos <math>C_1 \supset C_2 \supset ...</math> ovat <math>\mu^*</math>-mitallisia joukkoja ja <math>\mu^* (C_1) < \infty</math>, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (C_n)</math>.</center>

 

 

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

 

 

'''Carathéodoryn lause''' lause sanoo, että jos <math>\mu^* : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty ]</math> on ulkomitta, niin sen [[rajoittuma]] <math>\mu^*</math>-mitallisiin joukkoihin eli funktio <math>\mu^* | \mathcal{M}_{\mu^*}(X)</math> on [[mitta]] X:ssä.

 

 

* Ulkomittaa sanotaan ''täydelliseksi'' jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. [[Hausdorffin mitta|Hausdorffin mitan]] ja [[Lebesguen mitta|Lebesguen mitan]] konstruktiossa esiintyvät ulkomitat.

 

 

Jos <math>\mu^*</math> on ulkomitta joukossa X ja <math>A \subset X</math>, niin funktio <math>f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \}</math> on ''<math>\mu^*</math>-mitallinen'' jos ja vain jos joukot <math>f^{-1} (G)</math>, <math>f^{-1} (\{ -\infty \} )</math> ja <math>f^{-1} (\{ +\infty \} )</math> ovat <math>\mu^*</math>-mitallisia kaikilla [[Avoin joukko|avoimilla joukoilla]] <math>G \subset \mathbb{R}</math>. Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on <math>\mu^*</math>-mitallinen jos ja vain jos joukko <math>\lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace</math> on <math>\mu^*</math>-mitallinen kaikilla <math>c \in \mathbb{R}</math>.

 

[[Luokka:Mittateoria]]