Wikipedia

Ero sivun ”Ptolemaioksen lause” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Rivi 2:
 
== Ptolemaioksen lauseen todistus ==
Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste EF siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät (<math>\angle ABE=\angle CDA</math> ja <math>\angle BEA=\angle CAD</math>). Tällöin <math>\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},</math>
joten
<math>BE=\frac{AB\cdot DC}{AD}.</math>
Koska myös <math>\angle EAC=\angle BAD</math>, on
<math>\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}</math>, sillä kolmiot <math>EACEBC</math> ja <math>BAD</math> ovat yhteneviä. Siten <math>EC=\frac{AC\cdot DBDC}{AD}.</math>
Siten <math>ABCD</math> on jännenelikulmio, joten <math>\angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA=180^\circ.</math>
Siten pisteet <math>C, B</math> ja <math>E</math> ovat samalla suoralla, joten
Rivi 14:
 
Oletetaan sitten, että <math>ABCD</math> ei ole jännenelikulmio. Tällöin <math>\angle ABE+\angle CBA=\angle ADC+\angle CBA\neq 190^\circ,</math>
joten pisteet <math>E</math>, <math>B</math> ja <math>C</math> muodostaval kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa <math>EC<EBEA+BC</math>. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä <math>\frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.</math>
Siis <math>AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD.</math>
Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen lauseen:
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Ptolemaioksen_lause”