Ero sivun ”Metrinen avaruus” versioiden välillä

'''Metrinen avaruus''' on [[matematiikka|matematiikassa]] joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä [[topologinen avaruus|topologisista avaruuksista]]. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat [[metristyvä avaruus|metristyviä avaruuksia]].

 

 

Metrinen avaruus on pari <math>(X, d)</math>, missä <math>X</math> on [[joukko]] ja <math>d : X \times X \to \mathbb{R}</math> kuvaus (ns. [[metriikka]] eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon <math>X</math> alkioilla <math>x</math>, <math>y</math> ja <math>z</math> toteuttaa ehdot

# <math>d(x,y) = 0 \,\!</math> jos ja vain jos <math>x = y </math>

# <math>d(x,y) = d(y,x) \,\!</math>

 

Metristä avaruutta <math>(X, d)</math> kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi <math>X</math>, jos käytössä oleva metriikka <math>d</math> on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden <math>X</math> alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua <math>d(x,y)</math> pisteiden <math>x</math> ja <math>y</math> väliseksi etäisyydeksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden <math>X</math> metriikasta <math>d</math>, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä <math>B_d(x,r)</math>.

 

 

Avaruuden <math>(X,d)</math> osajoukko <math>U \subseteq X</math> on '''[[avoin joukko|avoin]]''', jos jokaisella pisteellä <math>x \in U</math> on kuulaympäristö <math>B(x,r)</math> siten, että <math>B(x,r) \subseteq U</math>. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään <math>X</math>:n [[topologia (matematiikka)|topologian]], ns. '''tavallisen topologian''' <math>\mathcal{T}_d</math>; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla [[topologinen avaruus]]. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden <math>(X,\mathcal{T})</math> topologiaa <math>\mathcal{T}</math> '''metristyväksi''' jos ja vain jos on olemassa jokin <math>X</math>:n metriikka <math>d</math> siten, että <math>\mathcal{T} = \mathcal{T}_d</math>.<ref name=Vaisala />

 

==Lähteet==

 

==Kirjallisuutta==

 

[[Luokka:Topologia]]