Ero sivun ”Determinantti” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Pohja matriisi-sivulta, kirjallisuutta en-wikistä Merkkaukset: Ohjaus on poistettu ohjaussivu muutettu sisältösivuksi |
||
Rivi 1:
Jokaisella neliömatriisilla on '''determinantti'''. Neliömatriisin <math>A</math> determinantti merkitään:<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html| Nimeke = "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä = Weisstein, Eric W.| Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref>
:<math>\det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}</math>
[[Matriisi]]n <math>A</math> alimatriisi <math>A_{ij}</math> saadaan poistamalla matriisista <math>i</math>:s vaakarivi ja <math>j</math>:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia <math>\displaystyle \det A_{ij}</math> sanotaan alkion <math>a_{ij}</math> '''alideterminantiksi'''.
Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee [[momentti_(fysiikka)|momentti]]a.
== Määritelmä ==
Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:
Matriisin <math>A=[a_{ij}]_{n \times n}</math> determinantti on
:<math>\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1, j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}</math>
,jossa <math>(j_1, j_2, j_3, \dots, j_n)</math> on eräs <math>\{1, \dots, n\}</math>:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja
:<math>
\sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right)
= \begin{cases}
1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\
-1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton}
\end{cases}
</math>
Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,''n''}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.
Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi <math>2\times2</math> determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:
:<math>
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}
= \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c
</math>
== Laskusääntöjä ==
*<math>\det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right) </math>
*<math> \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right) </math>, jossa ''A'' ja ''B'' ovat molemmat ''n'' <math>\times</math> ''n'' -matriiseja.
*Jos ''A'':n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla
:<math> \det \left( A \right) = 0 </math>
*Jos ''A'':n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,
:<math> \det \left( A \right) = 0 </math>
*Jos matriisi ''A''<sub>1</sub> saadaan matriisista ''A'' kertomalla jokin rivi vakiolla ''c'',
:<math>\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right) </math>
*Jos matriisi ''A'' on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.
*Jos matriisi ''A''<sub>1</sub> saadaan matriisista ''A'' vaihtamalla kaksi riviä keskenään,
:<math>\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right) </math>
== Determinantin laskeminen ==
Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:
:<math>\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n}</math>
,jossa ''A''<sub>''ij''</sub> on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan ''A'':sta ''i'':s rivi ja ''j'':s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.
Esimerkki:
:<math>
\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}
&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}
- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
\\
&= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)
- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right)
+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97
\end{align}
</math>
Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo <math>25\times25</math> matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:
:<math>\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}</math>
,jossa vakio ''c'' määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja <math>d_{ii}</math> ovat ''A'':sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus ''c'':hen näkyy alla:
# Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: <math>c = -1c_0</math>.
# Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: <math>c = c_0</math>.
# Kun kerrotaan rivi vakiolla ''k'': <math>c = k c_0</math>.
''Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.''
== Alkion komplementti ==
määritellään alkion <math>a_{ij} \,\!</math> '''komplementti''' eli '''kofaktori'''
:<math>C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!</math>.
Matriisin <math>A = (a_{ij})\,\!</math> '''adjungoitu matriisi''' saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään
:<math>\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}</math>.
== Determinantin käyttäminen ==
Neliömatriisia <math>A</math> sanotaan '''singulaariseksi''', jos <math>\det A = 0 \,\!</math>. Jos <math>\det A \ne 0</math>, matriisi on '''ei-singulaarinen''' (=säännöllinen).
Ei-singulaariselle matriisille <math>A</math> pätee
:<math>A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I</math> ja <math>\left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I</math>.
Tulosta käytetään määrittelemään matriisin '''käänteismatriisi'''.
== Lähteet ==
{{Viitteet}}
== Kirjallisuutta ==
* Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
* de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
* Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
* Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
* Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
* Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
* G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
* Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
* Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
* Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
=== Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjoja ===
* Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
* Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand
* Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
* Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
* Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0
* Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
* Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra
* Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0
* Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
* Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8
* Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
* Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
* Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
* Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
* Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
* The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9
* Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98258-8
* Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
* Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
* Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
* Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
* Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8
* Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5
* Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
* Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
* Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
* Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
* Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
* Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
* Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
* Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
* Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
* Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
* Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on October 31, 2009
* Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
* Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3
* Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
* Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
* Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
* Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
* Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9
* Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
* Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
* Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
* McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
* Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0
| |||