Wikipedia

Ero sivun ”Osittaisdifferentiaaliyhtälö” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[katsottu versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p Botti siirsi "Katso myös" -osion oikeaan kohtaan.
p Botti päivitti vanhentuneen matemaattisen syntaksin; ks. mw:Extension:Math/Roadmap
Rivi 2:
 
Esimerkkejä yksinkertaisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä:
:<math>\frac{\partpartial u}{\partpartial x}=0\, </math>
 
:<math>\frac{\partpartial^2 u}{\partpartial x^2} + \frac{\partpartial^2 u}{\partpartial y^2}=0, </math>
 
== Termejä ja merkintöjä ==
Osittaisderivaattamerkintöjä lyhennetään usein seuraavasti:
 
:<math>u_x = {\partpartial u \over \partpartial x}</math>.
 
Aikaderivaatta lyhennetään joskus pistemerkinnän avulla, mutta tavallisemmin alaindeksillä ''t'':
 
:<math>\dot u = u_t = {\partpartial u \over \partpartial t}</math>.
 
Jos yhtälössä esiintyy ainoastaan ensimmäisiä derivaattoja, sanotaan yhtälön olevan ''ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö''. Monissa käytännön sovelluksissa tarvitaan kuitenkin toisia derivaattoja
 
:<math>u_{xx} = \frac{\partpartial^2 u}{\partpartial x^2}</math>
 
ja vastaavasti
 
:<math>u_{xy} = {\partpartial^2 u \over \partpartial y\, \partpartial x} = {\partpartial \over \partpartial y } \left({\partpartial u \over \partpartial x}\right)</math>.
 
Usein käytetään myös niin kutsuttua [[nabla]]-operaattoria, mikä karteesisissa koordinaateissa kirjoitetaan seuraavasti:
 
<math>\nabla=(\part_xpartial_x,\part_ypartial_y,\part_zpartial_z)</math> missä <math>\part_xpartial_x = {\partpartial \over \partpartial x}</math>.
 
Yleisesti yhtälön kertaluku määräytyy korkeimman derivaatan kertaluvusta, aivan kuten tavallistenkin differentiaaliyhtälöiden tapauksessa.
Rivi 34:
Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkeavuus on vielä tavallisia [[differentiaaliyhtälö]]itäkin heikompi, eikä analyyttistä ratkaisua suljetussa muodossa ole olemassa joitakin poikkeuksia lukuun ottamatta. Koska ratkaisussa saattaa olla useita muuttujia, tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta poiketen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuun voi jäädä vakioiden sijasta kokonaisia tuntemattomia funktioita. Esimerkiksi erittäin yksinkertaisen yhtälön
 
:<math>\frac{\partpartial u}{\partpartial x} = 0</math>
 
ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa funktio
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Osittaisdifferentiaaliyhtälö”