Ero sivun ”Jatkuva funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p p |
→Yhden reaalimuuttujan tapaus: + lähteitä |
||
Rivi 4:
==Yhden reaalimuuttujan tapaus==
=== Nk. [[Epsilon|ε]][[Delta|δ]]-määritelmä ===
Intuitiivisesti funktion <math display="inline">f:A\to B</math> jatkuvuus tietyssä pisteessä <math display="inline">a\in A</math> tarkoittaa sitä, että <math display="inline">f(x)</math> on ''lähellä'' arvoa <math display="inline">f(a)</math> aina, kun piste <math display="inline">x\in A</math> on lähellä pistettä <math display="inline">a</math>. Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden <math display="inline">\varepsilon\delta</math>-määritelmä ([[Kreikkalainen kirjaimisto|kreikk.]] <nowiki>''</nowiki>epsilon<nowiki>''</nowiki> ja <nowiki>''</nowiki>delta<nowiki>''</nowiki>), joka on seuraava:
Olkoon <math display="inline">I\subset\mathbb R</math> [[väli]], <math display="inline">a\in I</math> ja <math display="inline">f:I\to\mathbb R</math>. Funktio <math display="inline">f</math> on '''jatkuva''' pisteessä <math display="inline">a</math>, jos kaikilla <math display="inline">\varepsilon>0</math> on olemassa <math display="inline">\delta>0</math> siten, että
<math>\left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon</math>,
kun <math display="inline">x\in I</math> ja <math display="inline">|x-a|<\delta</math>.<ref name=":0">{{Verkkoviite|osoite=http://www.math.jyu.fi/opiskelu/monisteet/MATA111.pdf|nimeke=Analyysi 1|julkaisu=|julkaisija=Jyväskylän yliopisto|viitattu=21.3.2017|tekijä=Kilpeläinen, Tero|ajankohta=2000 / 2002|selite=s. 40 − 41}}</ref>
Luku <math display="inline">\delta>0</math> riippuu tapauskohtaisesti joko <math display="inline">\varepsilon</math>:sta, <math display="inline">f</math>:stä, <math display="inline">a</math>:sta tai kaikista näistä. Luku <math display="inline">\varepsilon>0</math> ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä ''kaikilla'' <math display="inline">\varepsilon>0</math> (siis erityisesti hyvin pienillä <math display="inline">\varepsilon</math>:n arvoilla). Käytännössä <math display="inline">\varepsilon\delta</math>-määritelmä tarkoittaa sitä, että <math display="inline">\varepsilon</math>:n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion <math display="inline">f</math> graafi jää aina suorien <math display="inline">y=f(a)-\varepsilon</math> ja <math display="inline">y=f(a)+\varepsilon</math> väliin pisteen <math display="inline">a</math> lähellä.<ref name=":0" />
=== Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla ===
[[Funktio]] <math> f:\R \rightarrow \R </math> on '''jatkuva''' pisteessä <math> a </math>, jos ja vain jos sen [[raja-arvo]] tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä <math> a </math>, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:
Rivi 11 ⟶ 24:
===Esimerkkejä===
* [[Vakiofunktio]] <math display="inline">f:I\to\mathbb R</math>, <math display="inline">f(x)=c</math> on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
* [[Polynomi|Polynomifunktio]] <math display="inline">p:I\to\mathbb R</math>, <math display="inline">p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0</math>on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin [[Aste (polynomi)|asteesta]] <math display="inline">n</math>.<ref>Kilpeläinen, s. 47</ref>
* Funktio <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> on määritelty, kun <math>x\neq 0</math>. Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
* Funktio <math>f(x)=|x|</math> on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa <math>x=0</math>.
Rivi 28 ⟶ 43:
==Lähteet==
<references />
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Continuous.html | Nimeke = Continuous | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
* {{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/ContinuousFunction.html | Nimeke = Continuous Function | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}
| |||