Ero sivun ”Ryhmäteoria” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi luokkaan Seulonnan keskeiset artikkelit |
p Linkkifix: rengas -> rengas (matematiikka) using AWB |
||
Rivi 5:
[[Galois'n teoria]] tutkii polynomien ratkeavuutta ryhmäteorian keinoin. Sen avulla voidaan polynomien ratkeavuus palauttaa ryhmän ratkeavuuteen. Tätä ryhmien ratkeavuutta on helpompi käsitellä kuin yhtälöiden ratkeavuutta.
[[Abelin ryhmä]] on eräs ryhmäteorian perustyökalu ja se on perustana myös monimutkaisemmille algebrallisille rakenteille, kuten [[
== Historia ==
Ryhmäteorian kehityshistoriassa on kolme tutkimushaaraa:
* 1. [[
* 2. [[
* 3. algebrallisten yhtälöiden teoria 1700 -luvun lopulla johtaen [[permutaatio
Tarkastellaan seuraavaksi näitä kolmea tutkimushaaraa erikseen.
* 1) 1800 -luvun alussa geometria alkoi menettää metristä karakterisointia. Keskityttiin tutkimaan [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidista geometriaa]] ja n -dimensioisia avaruuksia. Tämä aiheutti geometrian kehittymisen abstraktimpaan suuntaan. Epäeuklidista geometriaa tutkivat erityisesti [[
* 2) Vuonna 1761 [[
* 3) [[
== Ryhmien pääluokat ==
Rivi 26:
[[File:Permutaatio.jpg|thumb|Geometristen kuvien permutaatioita.]]
Permutaatioita esiintyy lähes joka puolella matematiikassa sekä käytännön elämässä. Juuri tämän vuoksi ryhmäteoriassa alettiin ensimmäisenä tutkia permutaatioryhmiä. Hyvänä käytännön esimerkkinä permutaatioista toimii Rubikin kuution siirrot.
Matemaattisesti määriteltynä permutaatio tarkoittaa bijektiota joukolta itselleen. [[Permutaatio]] sanana merkitsee muutosta tai vaihtoa eli jonkin joukon sisäistä muutosta, jolloin alkiot kuitenkin säilyvät ennallaan. Uusi avaamaton korttipakka on aluksi tietyssä järjestyksessä. Nyt, jos järjestystä muutetaan esimerkiksi siten, että ruutuässän tilalle laitetaankin pataässä, voidaan kuvitella ruutuässän kuvautuvan pataässäksi.
Permutaatiota voidaan tarkastella monesta eri näkökulmasta. Kun korttipakan järjestystä muutetaan tietyllä operaatiolla, voidaan sen kuvitella olevan eräänlainen permutaatio. Toisaalta permutaatio voi myös tarkoittaa saavutettua lopputulosta, johon korttipakka järjestämisoperaation jälkeen muotoutuu. Jos jonkin joukon alkiot kuvitellaan numeerisesti tiettyyn järjestykseen, voi permutaatio tarkoittaa myös järjestysnumeroiden muuttumista.
Rivi 37:
=== Translaatioryhmät ===
Translaatioryhmät ovat suljettuja rakenteensa suhteen. Jos esimerkiksi ryhmään <math> G </math> tehdään translaatiot eli siirrot tai muutokset <math> T </math> ja <math> U </math>, on ensin suoritettava operaatio <math> T </math> ja sitten vasta operaatio <math> U </math>.
Käsitteellisesti translaatioryhmä voidaan samaistaa [[Symmetrinen ryhmä|symmetriseen ryhmään]]. Translaatioryhmät koostuvat siis niistä kaikista translaatioista, jotka säilyttävät ryhmän yksinkertaisen rakenteen.
Rivi 43:
=== Abstraktit ryhmät ===
Ryhmäteoria kehittyi aluksi konkreettisimmista edellä mainituista ryhmäluokista. Ryhmäoperaatioita käsiteltiin siis luvuilla, permutaatioilla ja matriiseilla. Abstrakti ryhmä käsitteenä kuuluu moderniin eli abstraktiin algebraan.
Ryhmä <math> G </math> koostuu esimerkiksi alkioista <math> {a,b,c,..} </math>. Jos ryhmä <math> G </math> on suljettu binäärioperaation * suhteen, niin voimassa ovat seuraavat neljä ehtoa:
Rivi 60:
* 2. käänteisalkio: <math> G \to G: x \to x^{-1} </math>.
Nämä edellä mainitut operaatiot muodostavat [[jatkuva funktio|jatkuvat funktiot]].
== Viitteet ==
| |||