Ero sivun ”Zornin lemma” versioiden välillä

Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (''P'',&le;≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko ''T'' on ''täysin järjestetty'' jos jokaisella ''s'', ''t'' &isin;∈ ''T'' on voimassa joko ''s'' &le;≤ ''t'' tai ''t'' &le;≤ ''s''. Tällaisella joukolla ''T'' on ''yläraja'' ''u'' &isin;∈ ''P'' jos ''t'' &le;≤ ''u'' kaikilla ''t'' &isin;∈ ''T''. Huomaa, että ''u'' on ''P'':n alkio, mutta ei välttämättä kuulu ''T'':hen. ''P'':n ''maksimaalinen alkio'' on sellainen alkio ''m''&isin;∈''P'', että ainoa alkio ''x'' &isin;∈ ''P'', jolle ''x'' &ge;≥ ''m'' on ''x'' = ''m''.<ref name=Vaisala />

Kuten [[hyvinjärjestyslause]], Zornin lemma on yhtäpitävä [[valinta-aksiooma]]n kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin [[aksiomaattinen joukko-oppi|Zermelon-Fraenkelin aksioomat]] oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi [[funktionaalianalyysi]]n [[Hahnin-Banachin lause]], jokaisella [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] olevan [[vektoriavaruuden kanta|kanta]], [[Tihonovin lause]], jonka mukaan [[kompakti]]en avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella ykkösellisellä [[rengasRengas (matematiikka)|renkaalla]] olevan maksimaalinen ideaali ja jokaisella [[kunta (matematiikka)|kunnalla]] olevan [[algebrallinen sulkeuma]].<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri) | Sivu = 2401, art. Joukko-oppi | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1978 | Tunniste = ISBN 951-1-02232-6}}</ref>