Ero sivun ”Todennäköisyysjakauma” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi luokkaan Seulonnan keskeiset artikkelit |
yhdistetty pyynnöstä Diskreetti todennäköisyysjakauma |
||
Rivi 13:
* <math>F(-\infty)=0</math> ja <math>F(\infty)=1</math>
* <math>F(x)</math> on oikealta jatkuva
'''Tiheysfunktio''' <math>f(x)</math> (engl. ''probability density function'', lyh. PDF) on kertymäfunktion [[derivaatta]]. Tiheysfunktio on olemassa, jos kertymäfunktio on aidosti [[derivaatta|derivoituva]]. Tällöin tiheysfunktiolle pätee kaava
Rivi 22 ⟶ 21:
*<math>f(x) \ge 0</math> kaikilla <math>x</math>.
*<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.</math>
Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos sen [[otosavaruus]] on [[numeroituva]]. Tällöin kertymäfunktio on [[porrasfunktio]] eli se koostuu äärellisestä määrästä epäjatkuvuuskohtaa merkitseviä hyppyjä. Diskreetin satunnaismuuttujan tiheysfunktiota vastaa '''pistetodennäköisyysfunktio''' <math>P(x)</math> (engl. ''probability mass function'', PMF), joka kertoo diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden saada arvo <math>x</math>. Jos <math>x</math> ei kuulu otosavaruuteen, sen todennäköisyys on 0.
== Todennäköisyysjakaumia ==
Suluissa annetaan esimerkki jakauman tulkinnasta.
=== Diskreettejä jakaumia ===
{{Pääartikkeli|[[Diskreetti todennäköisyysjakauma]]}}
Diskreetti todennäköisyysjakauma on sellaisen [[satunnaismuuttuja]]n jakauma, joka voi saada vain äärellisen tai korkeintaan [[numeroituva]]sti äärettömän määrän erilaisia arvoja, esimerkiksi vain [[kokonaisluku]]arvoja. Tällaista satunnaismuuttujaa sanotaan ''diskreetiksi satunnaismuuttujaksi''. Tällöin myös [[todennäköisyys]] on jakautunut vain äärellisen tai numeroituvan muuttujan arvojen joukon kesken.
Tärkeitä diskreettejä todennäköisyysjakaumia ovat esimerkiksi:
* [[Bernoullin jakauma]] (dikotominen koe)
Rivi 40 ⟶ 41:
* [[Poissonin jakauma]] ([[Poisson-prosessi]]n insidenssien lukumäärä)
==== Symmetrinen jakauma ====
===Jatkuvia jakaumia===▼
Esimerkiksi jos satunnaismuuttuja on nopanheitto, se saa vain kuusi eri arvoa, nopan silmäluvut 1, 2,...,6. Koska säännölliselle nopalle jokaisen silmäluvun todennäköisyys on yhtä suuri, yksittäisen silmäluvun todennäköisyys saadaan jakamalla varman tapauksen todennäköisyys (joka on 1) kuudella. Siten vaikkapa silmäluvun 5 (kuten kaikkien muidenkin silmälukujen) todennäköisyys on 1/6. Tässä tapauksessa todennäköisyysjakauman sanotaan olevan tasainen. Jos diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyys on jakautunut tasaisesti, jakauman sanotaan olevan [[symmetrinen todennäköisyysjakauma]].
Jos heitetään kahta noppaa joista ensimmäinen on vaikka sininen ja toinen punainen, voidaan tulos tulkita satunnaismuuttujaksi usealla tavalla. Voidaan pitää satunnaismuuttujana saatua lukuparia, esim. jos sinisellä tuli 2 ja punaisella 5, satunnaismuuttuja on (2,5). Myös voidaan ottaa satunnaismuuttujaksi suurempi saaduista nopan silmäluvuista, eli em. tapauksessa luku 5. Kolmas mahdollisuus on käyttää satunnaismuutujana silmälukujen summaa, eli edellä tarkastellussa tapauksessa satunnnaimuuttujan arvo on 7. Muitakin mahdollisuuksia satunnaismuuttujan valinnalle on löydettävissä.
Lukuparien tapauksessa kahden nopan heiton [[arvojoukko]] on kaikkien mahdollisten silmälukuparien joukko eli 6x6=36 lukuparia. On nähtävissä että kyseessä on symmetrinen todennäköisyysjakauma.
Sen sijaan jos satunnaismuuttuja on suurempi silmäluvuista, esimerkiksi satunnaismuuttujan arvo 1 tulee vain lukuparista (1,1), kun taas arvo 6 tulee peräti yhdestätoista eri lukuparista (1,6),(6,1),(2,6),(6,2),...,(5,6),(6,5) ja (6,6). Kyseessä ei siis ole ollenkaan symmetrinen todennäköisyysjakauma.
==== Binomijakauma ====
Jos jokin koe suoritetaan määräluku kertoja (''n''), ja tietty tulos saadaan joka kerta vakiotodennäköisyydellä ''p'', sellaisten tapausten lukumäärä, joissa tämä tulos on saatu, noudattaa [[binomijakauma]]a parametreilla (n, p). Esimerkkinä voidaan mainita kuutosten lukumäärä heitettäessä noppaa useita kertoja.
==== Poissonin jakauma ====
Poissonin jakauma kuvaa tiettyjen tapahtumien lukumäärää kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja seuraavan tapahtuminen ei riipu lainkaan edellisestä. Poissonin jakaumaa voidaan pitää binomijakauman rajatapauksena, kun toistojen lukumäärä ''n'' kasvaa rajatta, mutta todennäköisyys ''p'' pienenee samassa suhteessa. Jakauma on näin ollen diskreetti, mutta kiinteällä aikavälillä tapahtumien lukumäärää ei ole kuitenkaan mitenkään rajoitettu. Toisin sanoen satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut, siis numeroituva, ei-äärellinen joukko.
==== Geometrinen jakauma ====
Geometrinen jakauma on myös esimerkki diskreetistä jakaumasta, jossa mahdollisia arvoja ovat kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut. Siinä kahden peräkkäisen kokonaislukuarvon todennäköisyyksien suhde on vakio, ja mitä suurempi luku, sitä pienempi todennäköisyys.
▲=== Jatkuvia jakaumia ===
* [[Beta-jakauma]]
* [[Cauchy-jakauma]]
Rivi 54 ⟶ 73:
* [[Weibull-jakauma]]
=== Moniulotteisia jakaumia ===
* [[Dirichlet-jakauma]] (jatkuva, multinomijakauman posteriorijakauma)
* [[Moniulotteinen Studentin t-jakauma]]
Rivi 60 ⟶ 79:
* [[Multinormaalijakauma]]
== Aiheesta muualla ==
*https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2838/tiheysfu.pdf?sequence=2
{{Todennäköisyysjakaumat}}
| |||