Ero sivun ”Paraabeli” versioiden välillä

Tarkastellaan paraabelin <math>y=ax^2+bx+c</math>, missä <math>a\neq 0</math>, peilaamista huippupisteen <math>(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})</math> kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin pitämällä huippupiste paikallaan". Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa. (1) Peilataan paraabeli aluksi <math>y</math>-akselin suhteen ja (2) siirretään näin saatua paraabelia pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen:

(1) Peilataan paraabeli aluksi <math>y</math>-akselin suhteen. <math>y</math>-akselin suhteen peilaaminen vaihtaa etumerkit: päädytään paraabeliin <math>y=-ax^2-bx-c</math>, jonka huippu on pisteessä <math>(-\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^2}{4a})</math>.

(2) Siirretään näin saatua paraabelia pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan <math>2\cdot\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{2a}</math>. Tämä on selvää, koska huippupisteen <math>x</math>-koordinaatti ei muutu vaiheessa (1), mutta <math>y</math>-koordinaatti vaihtuu vastaluvuksi. Siirto johtaa vaiheessa (1) saadun paraabelin yhtälön muuttumiseen vastaavasti: päädytään paraabeliin <math>y=-ax^2-bx-c+\frac{4ac-b^2}{2a}</math> eli <math>y=-ax^2-bx+\frac{2ac-b^2}{2a}</math>.