Reunanylityslause

Reunanylityslause on topologiaan liittyvä seuraava tulos: Olkoon $X$ topologinen avaruus, osajoukko $E\subset X$ yhtenäinen ja $A\subset X$. Jos $E$ kohtaa sekä $A$:n että $X\setminus A$:n, niin $E$ kohtaa myös $A$:n reunan $\partial A$.

Todistus

Merkitään $U=\mathrm {int} \;A$ ja $V=\mathrm {ext} \;A$. Jos $E\cap \partial A=\emptyset$, niin $E\subset U\cup V$. Sisäpisteen ja ulkopisteen määritelmästä seuraa $U\cap V\cap E=\emptyset \;$ ja oletuksista seuraa $\;U\cap E\neq \emptyset \neq V\cap E$. Nyt $E=(U\cap E)\cup (V\cap E)$. Koska joukot $U\cap E$ ja $V\cap E$ ovat erillisiä, epätyhjiä ja $E$:ssä avoimia, niin $E$ on epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita oletusten kanssa, joten täytyy päteä $E\cap \partial A\neq \emptyset$.

Vaihtoehtoinen todistus:

Tehdään vastaoletus: joukko $E$ ei kohtaa joukon $A$ reunaa. Täten

$E\cap \partial A=E\cap ({\overline {A}}\setminus \operatorname {int} {A})=E\cap {\overline {A}}\cap \complement \operatorname {int} {A}=\emptyset .$

Olkoon

$B=E\cup A\neq \emptyset \quad {\text{ja}}\quad C=E\cup \complement A\neq \emptyset .$

Tällöin $B\cup C=E$.

Nyt vastaoletuksen, sulkeuman määritelmän ja säännön $\complement A\subset \complement \operatorname {int} {A}$ nojalla

${\begin{aligned}B\cap {\overline {C}}&=(E\cap A)\cap ({\overline {E\cap \complement A}})=E\cap A\cap {\overline {E}}\cap {\overline {\complement A}}=E\cap A\cap \complement \operatorname {int} {A}\\&=\emptyset \quad {\text{ja}}\\{\overline {B}}\cap C&=({\overline {E\cap A}})\cap (E\cap \complement A)={\overline {E}}\cap {\overline {A}}\cap E\cap \complement A=E\cap {\overline {A}}\cap \complement A\\&=\emptyset .\end{aligned}}$

Täten joukko $E$ separoituu, joten se ei ole yhtenäinen. Ollaan päädytty ristiriitaan. Täten alkuperäinen väite on tosi. $\square$