Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. Tehtävänä on laskea integraali , missä on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja on analyyttinen :ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä . Tällöin funktio voidaan esittää Laurentin sarjana . Tällöin integraalin arvoksi saadaan .[1] Tässä kutsutaan funktion reduaaliksi pisteessä ja merkitään tai lyhyemmin .[2]

Esimerkki 1: Tarkastellaan funktiota ja lasketaan integraali , kun tiedetään, että funktiolla on residuaali pisteessä .

Ratkaisu: Funktiolla on Taylorin sarja . Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle pisteen ympäristössä . Tällöin . Koska piste on ainoa nollakohta ympyrän sisällä, saadaan integraalin arvoksi .[2]

LähteetMuokkaa

  • Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineerging, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

ViitteetMuokkaa

  1. Saff ja Snider, s. 307
  2. a b Saff ja Snider, s. 308

KirjallisuuttaMuokkaa