Residylaskenta
Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. Tehtävänä on laskea integraali , missä on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja on analyyttinen :ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä . Tällöin funktio voidaan esittää Laurentin sarjana . Tällöin integraalin arvoksi saadaan .[1] Tässä kutsutaan funktion reduaaliksi pisteessä ja merkitään tai lyhyemmin .[2]
Esimerkki 1: Tarkastellaan funktiota ja lasketaan integraali , kun tiedetään, että funktiolla on residuaali pisteessä .
Ratkaisu: Funktiolla on Taylorin sarja . Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle pisteen ympäristössä . Tällöin . Koska piste on ainoa nollakohta ympyrän sisällä, saadaan integraalin arvoksi .[2]
Lähteet
muokkaa- Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineerging, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos
Viitteet
muokkaaKirjallisuutta
muokkaa- Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. 141, 10. painos. Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5.
- Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X.
- Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Schiller, John J. &; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).