Annihiloiva polynomi

(Ohjattu sivulta Minimaalipolynomi)

Annihiloiva polynomi on annettuun neliömatriisiin liittyvä polynomifunktio, jolla on sellainen ominaisuus, että kun matriisi sijoitetaan polynomiin muuttujan paikalle, tulokseksi saadaan nollamatriisi. Luonnollisesti tässä polynomi ei saa olla nollapolynomi (siis nollan suuruinen vakio). Matemaattisesti ilmaistuna polynomi on matriisin annihiloiva polynomi, jos ja vain jos

,

missä on siis nollamatriisi. Matriisi on siis annihiloivan polynominsa nollakohta. Cayleyn–Hamiltonin lauseen nojalla jokaisella neliömatriisilla on ainakin yksi annihiloiva polynomi, nimittäin kyseisen matriisin karakteristinen polynomi. Annihiloivia polynomeja voi olla kuitenkin myös muita.

MinimaalipolynomiMuokkaa

Erityisen tärkeä annihiloiva polynomi on alimmanasteinen pääpolynomi, joka toimii matriisin annihiloivana polynomina. Voidaan osoittaa, että tämä polynomi on annetulle matriisille yksikäsitteinen ja se tunnetaan matriisin minimaalipolynomina. Minimaalipolynomi on tärkeä, sillä siitä on luettavissa suoraan monia vastaavan matriisin ominaisuuksia.

Minimaalipolynomiin liittyviä ominaisuuksiaMuokkaa

  • Keskenään similaareilla matriiseilla on sama minimaalipolynomi.
  • Matriisi on diagonalisoituva jos ja vain jos sen minimaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria.
  • Jos n×n-matriisin   kaikki   ominaisarvoa ovat erisuuria, sen minimaalipolynomilla   ja karakteristisella polynomilla   on yhteys
 .

Tämä tulos myös yleistyy: minimaalipolynomi on aina jokin karakteristisen polynomin tekijä.

Minimaalipolynomin avulla voidaan tutkia myös mm. matriisin Jordanin normaalimuotoa tai komponenttimatriiseja.

Katso myösMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.