Milnen epäyhtälö

Matematiikassa Milnen epäyhtälö on positiivisia reaalilukuja koskeva epäyhtälö. Olkoot $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ja $b_{1},\ldots ,b_{n}$ positiivisia reaalilukuja. Tällöin $\left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}}{a_{i}+b_{i}}}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)$. Niin sanotun yleistetyn Milnen epäyhtälön mukaan kolmelle positiiviselle reaalijonoille $a_{1},\ldots ,a_{n}$, $b_{1},\ldots ,b_{n}$ ja $c_{1},\ldots ,c_{n}$ on voimassa $\left(\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}+c_{i})\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}+b_{i}c_{i}+a_{i}c_{i}}{a_{i}+b_{i}+c_{i}}}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}c_{i}}{a_{i}b_{i}+b_{i}c_{i}+a_{i}c_{i}}}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\right)$.