Millerin indeksit

Kristallografiassa Millerin indeksit ovat merkintätapa, jolla kiderakenteen suunnat ja tasot sekä diffraktogrammien heijastukset merkitään. Indeksointijärjestelmä on nimetty 1800-luvulla eläneen mineralogin ja kristallografin William Hallowes Millerin mukaan.

Esimerkkejä kidesuunnista. $x$, $y$ ja $z$ vastaavat yksikkökopin hilavektoreita ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ ja ${\vec {c}}$.

Millerin indeksit merkitään kirjaimilla $h$, $k$ ja $l$, jotka vastaavat Bravais'n hilan yksikkökopin hilavektoreita ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ ja ${\vec {c}}$.

On sovittu, että indeksit $h$, $k$ ja $l$ ovat aina kokonaislukuja. Negatiivista indeksiä, esimerkiksi $-h$, merkitään perinteisesti viivalla Millerin indeksin yläpuolella ${\overline {h}}$.

Millerin indeksien ympärillä olevat sulkeet kertovat paljon. Hakasuluissa olevat millerin indeksit $[hkl]$ viittaavat kidesuuntaan, kaarisulkeissa olevat $(hkl)$ kidetasoon. Merkintä $<hkl>$ tarkoittaa niiden kidesuuntien joukkoa, jotka ovat symmetrisesti ekvivalentteja ja $\{hkl\}$ tarkoittaa vastaavasti symmetrisesti ekvivalentteja tasoja. Ilman sulkeita $hkl$ Millerin indeksit viittaavat diffraktiomaksimiin, joka tulee kidetasosta $(hkl)$.

Kidesuunnat

Kidesuunnat merkitään hakasulkeilla $[hkl]$. Suunta on

$h{\vec {a}}+k{\vec {b}}+l{\vec {c}}$.

Esimerkiksi suunta $[100]$ vastaa kiteessä hilavektorin ${\vec {a}}$ suuntaa. $[200]$ on samaan suuntaan ja $[112]$ on suuntaan ${\vec {a}}+{\vec {b}}+2{\vec {c}}$.

Tasot

Tasoja kuutiollisessa hilassa.

Tasot merkitään kaarisulkeilla $(hkl)$. Taso virittyy avaruuteen vektoreiden

${\frac {\vec {a}}{h}}$, ${\frac {\vec {b}}{k}}$ ja ${\frac {\vec {c}}{l}}$

kärkien muodostaman kolmen pisteen kautta.

Jos joku indekseistä on nolla, taso ei leikkaa sitä vastaavaa yksikkökopin akselia vaan kohtaa sen "äärettömyydessä" eli muodostuva taso on tämän 0-vektorin suuntainen. Siispä kuutiollisessa hilassa taso $(300)$ leikkaa vain hilavektorin ${\vec {a}}$. Yhteen yksikkökoppiin mahtuu kolme sellaista tasoa korkeuksille $0$, $a/3$ ja $2a/3$ suuntaan ${\vec {a}}$.

Oletetaan, että taso leikkaa hilavektorit kohdissa ${\frac {3}{5}}{\vec {a}}$, ${\frac {1}{2}}{\vec {b}}$ ja ${\frac {1}{5}}{\vec {c}}$. Tällöin Millerin indeksit eivät olisi kokonaislukuja vaan $({\frac {5}{3}}\ 2\ 5)$. On kuitenkin sovittu, että indeksit merkitään aina kokonaisluvuilla, joten taso merkitäänkin $(5\ 6\ 15)$, missä kaikki indeksit on kerrottu luvulla 3. Indekseillä ei myöskään saa olla yhteistä tekijää, mikä sulkee pois sieventämiset esimerkiksi luvulla 6.

Suunta $[hkl]$ on kohtisuora tasoa $(hkl)$ vastaan kuutiollisessa hilassa, mutta ei välttämättä muissa hiloissa.

Diffraktio

Diffraktogrammin eli esimerkiksi röntgendiffraktiomittauksella kiteisestä aineesta saadun kuvaajan diffraktiomaksimit indeksoidaan Millerin indekseillä ilman sulkeita $hkl$. Maksimi vastaa tällöin heijastusta kidetasosta $(hkl)$.

Katso myös

• Kiderakenne
• Röntgendiffraktio
• Röntgenkristallografia

Kirjallisuutta

• Cullity, B.D. & Stock, S.R.: Elements of X-ray Diffraction. 3rd Edition. Prentice Hall, 2001. ISBN 0-201-61091-4.