Lorenzin yhtälöt

Lorenzin yhtälöt ovat yksinkertainen kolmen kytketyn differentiaaliyhtälön ryhmä, jonka kehitti yhdysvaltalainen meteorologi Edward Lorenz vuonna 1963 tutkiessaan yksinkertaista mallia ilmakehän konvektiovirtauksista. Lorenzin yhtälöt ovat

Lorenzin attraktori arvoilla a = 10, b = 28 ja c = 8/3

${\begin{cases}{\dot {x}}=a(y-x)\\{\dot {y}}=x(b-z)-y\\{\dot {z}}=xy-cz,\end{cases}}$

jossa a on Prandtlin luku ja b on Rayleighin luku ($a,b,c>0$). Historialliseksi Lorenzin yhtälöt muodostuivat, kun havaittiin, että yhtälöitä käsittelevästä tietokonesimulaatioista saatiin jatkuvasti toisistaan poikkeavia tuloksia. Tämän ilmiön syyksi osoittautui, että mielivaltaisen pieni muutos yhtälönratkaisun alkuarvoissa johti täysin erilaiseen lopputulokseen. Osoittautui myös, että tätä alkuarvoherkkyyttä ei ole yhtälöiden yksinkertaisuudesta huolimatta mahdollista hävittää systeemistä mitenkään, vaan se on niille tyypillinen, "sisäänrakennettu" ominaisuus. Lorenzin yhtälöt ovat ensimmäinen tunnistettu tapaus kaoottisesta dynamiikasta. Lorenzin yhtälöiden kuvaaja, Lorenzin attraktori on muodostunut yhdeksi kaaosteorian symboleista.

Lorenzin mallin simulaatio parametreilla a = 10, b = 30 ja c = 3 alkutilasta (1, 1, 1).

Lorenzin mallin simulaatio parametreilla a = 10, b = 30 ja c = 3 alkutilasta (1, 1, 1).

Yhtälöiden luonteen tunnistaminen oli tavallaan takaisku, sillä tutkimuksen tarkoituksena oli laatia pitkän aikavälin sääennustuksia ja tämän tavoitteen yhtälöiden käyttäytyminen osoitti periaatteessakin mahdottomaksi, sillä säämallin ratkaisemiseen vaadittavia mittauksia ei ole mahdollista suorittaa äärettömällä tarkkuudella. Myös alkuarvoherkän systeemin numeerinen laskenta on ongelmallista, sillä tietokone ei voi käsitellä muita kuin äärellisen pituisia desimaalilukuja.

Katso myös

• Rösslerin yhtälöt
• Hénonin-Heilesin systeemi

Aiheesta muualla

• Johdatus Lorenzin yhtälöihin (englanniksi)