Itseisaika

Itseisaika (ominaisaika, engl. proper time, tunnus $\tau$) on suhteellisuusteorian keskeisiä käsitteitä, jolla voidaan ilmaista kahden aika-avaruuden tapahtuman välinen aika havaitsijasta riippumatta. Aikadilataatiosta seuraa, että toistensa suhteen liikkuvat havaitsijat määrittelevät toisilleen poikkeavan ajan kulun (koordinaatistoaika t) riippuen inertiaalikoordinaatistojen välisestä suhteellisesta nopeudesta.

Ajatellaan havaitsijaa, joka liikkuu aika-avaruudessa maailmanviivaa pitkin. Havaitsijan maailmanviivalta valitaan kaksi tapahtumaa, joiden välinen aika mitataan havaitsijan mukana liikkuvalla kellolla. Tällä mukana liikkuvalla kellolla mitattu tapahtumien välinen aika on itseisaika. Määritelmästä seuraa, että itseisaika on havaitsijariippumaton Lorentz-invariantti skalaari. Itseisaika voidaan määritellä vain massallisille hiukkasille, joiden liikerataa kuvaa ajanluonteinen maailmanviiva.

Koordinaatistot, jotka eivät kuvaa koko aika-avaruutta, voivat johtaa paradoksaalisiin tilanteisiin yleisessä suhteellisuusteoriassa. Tyypilliset mustan aukon ulkopuolista avaruutta kuvaavat koordinaatistot eivät kata mustan aukon sisällä olevaa aika-avaruuden osaa. Mustaan aukkoon putoava kappale kulkee äärellisen matkan, mutta matkaan kuluu ääretön koordinaatistoaika, kun aika määritellään ulkopuolisessa koordinaatistossa. Kappaleeseen kiinnitetyllä kellolla mitattuna matkaan kuluu kuitenkin äärellinen itseisaika.

Matemaattinen muotoilu

Oletetaan, että inertiaalikoordinaatistossa K havaitsija havaitsee kellon, joka liikkuu jollain suhteellisella nopeudella $\mathbf {v}$ maailmanviivaansa pitkin. Kullakin infinitesimaalilla aikavälillä kello on tasaisessa liiketilassa. Näin kelloon voidaan kiinnittää hetkellinen inertiaalikoordinaatisto K'.

Seuraavassa havaitsija on lepokoordinaatisto K ja liikkuva kello koordinaatisto K'.

Kun K mittaa omalla kellollaan infinitesimaalin ajan $dt$, on kello K' kulkenut (koordinaatistossa K määriteltynä) matkan ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$.

Koordinaatistossa K' kello on hetkellisesti levossa, jolloin $dx'=dy'=dz'=0$. Aika-avaruuden intervalli $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$ on Lorentz-invariantti skalaari eli sama kaikille havaitsijoille. Tästä seuraa, että

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}dt'^{2}$, josta saadaan

$dt'={\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}.$

Liikkuvan kellon nopeuden $\mathbf {v}$ neliö on

$v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}.$

Koordinaatiston K' aika $dt'$ voidaan lausua koordinaatiston K suureilla

$dt'={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Koordinaatisto K mitattaa liikkuvan koordinaatiston K' kahden tapahtuman väliseksi ajaksi $\Delta t=t_{2}-t_{1}$. Vastaava aika K':ssa on $\Delta \tau '=t'_{2}-t'_{1}$. Koordinaatiston K suureilla tuo aika lasketaan integroimalla edellinen lauseke

$\Delta \tau '=t'_{2}-t'_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Liikkuvan kellon K' mittaamaa aikaa $\Delta \tau '$ kutsutaan itseisajaksi, joka on aina pienempi kuin lepokoordinaatiston K kellolla mitattu itseisaika. Tämä ilmaistaan usein sanallisesti "liikkuva kello käy hitaammin kuin paikallaan oleva".

Itseisaika on kaikille havaitsijoille sama Lorentz-invariantti skalaari, koska sen määrittelyyn käytetään aika-avaruuden intervallia (c=1)

$d\tau ={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}=dt{\sqrt {1-v^{2}}}.$

Lepokoordinaatistossa itseisaika on sama kuin koordinaatistoaika, koska kellon kulkema avaruudellinen matka $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=0$, jolloin $d\tau =dt$.

Itseisaika vastaa euklidisessa geometriassa käyrän kaaripituutta, joka saadaan integroimalla differentiaalia $ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}.$ Minkowskin avaruudessa maailmanviivan pituus saadaan integroimalla differentiaalia $d\tau$.

Olkoon $E_{1}$ ja $E_{2}$ kaksi aika-avaruuden tapahtumaa, jotka ovat K:n määrittelemällä parametrisoidulla maailmanviivalla $X(\lambda )=(t(\lambda ),x(\lambda ),y(\lambda ),z(\lambda ))$ siten, että $X(\lambda _{1})=E_{1}$ ja $X(\lambda _{2})=E_{2}$. Liikkuva kello K' seuraa tätä K:ssa määriteltyä maailmanviivaa. Itseisaika, jonka K' mittaa tapahtumien välille, lasketaan koordinaatistossa K integraalina

${\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{E_{1}}^{E_{2}}d\tau \\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}\\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-\left(\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right)}}d\lambda \\&=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}|X'(\lambda )|d\lambda .\end{aligned}}$

Maailmanviiva voidaan parametrisoida lepokoordinaatiston K itseisajalla $\tau$ (sama kuin koordinaatistoaika $t$), jolloin maailmanviivan $X(t)$ pituus on

${\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-\left(\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right)}}dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-v(t)^{2}}}dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma (t)}}dt,\end{aligned}}$

missä $\gamma (t)$ on Lorentz-kerroin ja $v(t)$ liikkuvan kellon nopeus. Havaitsijan itseisajalla parametrisoidun maailmanviivan tangenttivektorin pituus on aina $||X'(\tau )||=1$. Valonluonteista maailmanviivaa seuraavien massattomien hiukkasten itseisaika ei ole määritelty. Tämä ilmaistaan joskus sanallisesti "valo ei koe aikaa".