Fermat’n pisteet

Fermat’n pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin ja sen vanhin esitys liittyy Pierre de Fermat’n kirjeeseen ystävälleen Evangelista Torricellille. Siinä esitetty probleema, jota voidaan kutsua Fermat-Steiner-probleemaksi , kertoi kolmesta kylästä, joista tuli suunnitella suorat tiet niiden keskellä olevaan risteykseen siten, että maanteiden yhteispituus olisi mahdollisimman lyhyt. Kun kylät sijoitetaan kolmion kärkiin, sijaitsee janojen risteys pisteessä, jota kutsutaan Fermat’n pisteeksi (tarkemmin: ensimmäinen Fermat’n piste). Koska Torricelli ratkaisi probleeman, kutsutaan pistettä myös Torricellin pisteeksi, mutta toisinaan myös ensimmäiseksi isogooniseksi pisteeksi tai Steinerin pisteeksi. Piirroksissa pistettä merkitään usein X tai F₁, ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella $\scriptstyle X_{13}$.

Fermat’n piste löydetään Napoleonin lauseen konstruktiosta yhdistämällä janat kolmion kärjistä sen vastaisten sivujen tasasivuisten kolmioiden vapaisiin kärkipisteisiin. Fermat’n piste sijaitsee janojen leikkauspisteissä.

Fermat’n piste löytyy muillakin tavoilla. Kun kolmion sivuille piirretään tasasivuiset kolmiot siten, että niiden sivut yhtyvät alkuperäisen kolmion kanssa. Tilanne on rakenteeltaan samanlainen konstruktio, jota Napoleonin lause käsittelee. Kun kolmion kärjet yhdistetään janoilla vastaisen sivun tasasivuisen kolmion vapaaseen kärkeen, leikkaavat janat Fermat’n pisteessä. Fermat’n piste syntyy myös tasasivuisia kolmioita ympäröivien ympyröiden leikatessa toisensa.

Ensimmäinen Fermat’n piste

Fermat’n piste sijaitsee kohdassa, missä tieverkon etäisyyksien summa saa pienimmän arvonsa: $\scriptstyle |AF_{1}|+|BF_{1}|+|CF_{1}|$. Tarkasteltaessa tilannetta Napoleonin lauseen konstruktiossa, on tieverkon pituus sama kuin janat $\scriptstyle |AA''|=|BB''|=|CC''|$, jotka siis ovat yhtä pitkät. Jos kolmion kaikki kulmat ovat alle 120° niin janat, jotka yhdistävät kolmion kärjet Fermat’n pisteeseen F₁, muodostavat keskenään 120° kulmat. Tällaista ominaisuutta kutsutaan isogoniseksi.

Fermat’n piste voidaan löytää fysikaalisesti kokeilemalla. Tällöin porataan kolmion kärkiin pienet reiät, johon pujotetaan punnuksiin sidotut langat. Lankojen päät yhdistetään solmulla ja punnusten annetaan riippua samalla, kun kolmiota liikutellaan varovasti. Solmu hakeutuu asemaan, jossa lankojen suuntaiset vinot voimat lopulta kumoavat toisensa, mikä sijaitsee Fermat’n pisteessä.

Jos kolmion sivun pituudet ovat a, b ja c, ja kolmion kärkien etäisyydet Fermat’n pisteestä x, y ja z, on olemassa toinen tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on x + y + z, ja sen sisällä piste P siten, että etäisyydet tasasivuisen kolmion kärkiin ovat a, b ja c.

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\csc(\alpha +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\csc(\beta +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\csc(\gamma +{\tfrac {1}{3}}\pi )$

ja sen barysentriset koordinaatit ovat (A = kolmion ala)

$(a^{4}-2(b^{2}-c^{2})^{2}+a^{2}(b^{2}+c^{2}+4A{\sqrt {3}}))\,:\,(b^{4}-2(c^{2}-a^{2})^{2}+b^{2}(c^{2}+a^{2}+4A{\sqrt {3}}))\,:\,(c^{4}-2(a^{2}-b^{2})^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2}+4A{\sqrt {3}})).$

• 
  Ensimmäinen Fermat’n piste F₁, kun kulma C on 120 astetta. Se yhtyy kulman C kärjen kanssa.
• 
  Ensimmäinen Fermat’n piste F₁, kun kulma C on yli 120 astetta. Piste sijaitsee kolmion ulkopuolella, useimmiten tasasivuisten kolmioiden välissä.
• 
  Ensimmäinen Fermat’n piste F₁ määriteltynä käyttäen tasasivuisten kolmioiden ympyröitä.
• 
  Janat ja ympyrät yhdessä.

Toinen Fermat’n piste

Toinen Fermat’n piste (merkitään usein X', F₂ tai $\scriptstyle X_{14}$) syntyy samalla tavalla kuin ensimmäinenkin piste, mutta sillä erolla, että tasasivuiset kolmiot on käännetty kolmion päälle. Nyt kolmion kärjen ja sen vastaisen sivun tasasivuisen kolmion vapaan kärjen välisen janan jatkeet leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Pistettä kutsutaan myös nimellä toinen isogoninen piste.

Piste F₂ löytyy myös ympyröillä. Konstruktion jokaisen tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrät, jotka sitten leikkaavat toisessa Fermat’n pisteessä. Pisteellä F₂ on vielä eräs erikoisominaisuus. Jos yksi kulma, esimerkiksi C, on alle 60°, ja kaksi muuta kulmaa A ja B ovat yli 60°, on lausekkeella $\scriptstyle |AF_{2}|+|BF_{2}|-|CF_{2}|$ arvo minimissään. Jos kulmaehdot eivät täyty, on minimilauseke pienin jonkin muun kulman suhteen.

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\csc(\alpha -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\csc(\beta -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\csc(\gamma -{\tfrac {1}{3}}\pi )$

ja sen barysentriset koordinaatit ovat (A = kolmion ala)

$(a^{4}-2(b^{2}-c^{2})^{2}+a^{2}(b^{2}+c^{2}-4A{\sqrt {3}}))\,:\,(b^{4}-2(c^{2}-a^{2})^{2}+b^{2}(c^{2}+a^{2}-4A{\sqrt {3}}))\,:\,(c^{4}-2(a^{2}-b^{2})^{2}+c^{2}(a^{2}+b^{2}-4A{\sqrt {3}})).$

• 
  Toinen Fermat’n piste, kun C on suuri.
• 
  Toinen Fermat’n piste, kun kolmio on teräväkulmainen ja F₂ yhtyy tasasivuisen kolmion kärjen B kanssa.
• 
  Toinen Fermat’n piste, kun kulma B on 60 astetta ja F₂ siihen.

Fermat'n pisteen historia

Pierre de Fermat (1601–1665) kävi kirjeenvaihtoa Evangelista Torricellin (1608–1647) kanssa ja haastoi hänet keksimään ratkaisun ongelmaan, jossa kolme kylää tuli yhdistää kolmella tiellä siten, että ne yhtyvät samassa pisteessä ja että teiden yhteispituus olisi pienin mahdollinen. Koska Torricelli ratkaisi ongelman vuonna 1640 (Viviani julkaisi sen vuonna 1659), kutsutaan toisinaan tuota pistettä Torricellin pisteeksi. Fermat’n ongelma rajoittui kolmioon, jonka kaikki kulmat olivat alle 120°, vaikka ongelma toimii muillekin kulmille. Heinen todisti lauseen täydellisesti vuonna 1834.

Ensimmäinen Fermat’n piste on ensimmäinen merkillinen piste, joka löydettiin antiikin aikojen jälkeen. Tämä on poikkeuksellisen pitkä aika, koska nykyään niitä tiedetään olevan yli 5 000.

Muita ominaisuuksia

• Ensimmäinen Fermat’n piste ($\scriptstyle F_{1}=X_{13}$) on isogonaalinen konjugaatti ensimmäisen isodynaamisen pisteen ($\scriptstyle X_{15}$) kanssa. Se on isotominen konjugaatti merkillisen pisteen $\scriptstyle X_{298}$ kanssa.
• Toinen Fermat’n piste ($\scriptstyle F_{2}=X_{14}$) on isogonaalinen konjugaatti toisen isodynaamisen pisteen ($\scriptstyle X_{16}$) kanssa. Se on isotominen konjugaatti merkillisen pisteen $\scriptstyle X_{299}$ kanssa.

Katso myös

• Napoleonin lauseen konstruktioon liittyvät myös Napoleonin pisteet, jotka ovat kolmion merkillisiä pisteitä.

Lähteet

• Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• PlanetMath: Fermat−Torricelli theorem
• PlanetMath: Triangle center
• Ballew, Pat: The Fermat Point (Arkistoitu – Internet Archive)
• Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky