|
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
|
Erdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murtolukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä
![{\displaystyle {4 \over n}={1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7336314a896a95712ad237817389cdfb576fe4)
on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla
. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla
.
Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä
.
Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun
arvoilla
.
Yleisemmin, jos alkuluvulla
on esitys
,
niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla
on
.
Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun
alkulukuarvoja.
Jos
(mod
), voidaan käyttää esitystä
![{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n-2)/3+1}}+{\frac {1}{n((n-2)/3+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4365482aa02fb54f9aadbaa3327d28dd55ba158a)
Jos
(mod
), on
![{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+1)/4}}+{\frac {1}{(n^{2}+n+4)/4}}+{\frac {1}{n(n+1)(n^{2}+n+4)/16}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792731b9a354a8f30faa54da17a6363951da60e2)
Jos
(mod
), käytettävissä on esitys
![{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+3)/8}}+{\frac {1}{n(n+3)/4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1821f1e3c23d47759835abdac53ab4ecde71d760)
Jos
(mod
), käytettävissä on esitys
![{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{(n+3)/4}}+{\frac {1}{n(n+7)/12}}+{\frac {1}{n(n+3)(n+7)/48}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f16ab3569e0c956451ae5260decc6a485932874)