Egyptiläinen murtoluku

Egyptiläinen murtoluku on rationaaliluku, joka esitetään ykkösen tasaosien eli resiprookkimurtolukujen summana. Egyptiläiset murtoluvut ovat yli 4 000 vuotta vanhaa matematiikkaa Niilin alueelta.

Egyptiläiset esittivät murtolukuja Horuksen silmä-hieroglyfin osilla.

Vuonna 1858 skotlantilainen nuorukainen Henry Rhind osti Egyptistä torikauppiaalta thebalaisesta haudasta löydetyn papyruskäärön, joka tunnetaan nimellä Rhindin papyrus ja joka Rhindin kuoleman jälkeen ajautui British Museumiin Lontooseen. Käärössä esitellään egyptiläisten käyttämä murtolukujärjestelmä, joka on vertailun kannalta ja monissa käytännön tilanteissa yksinkertaisempi kuin nykymatematiikan käyttämä rationaalinen muoto.[1] Muinaiset egyptiläiset tunsivat murtoluvuista vain ykkösen tasaosat, kuten luvut 1/2, 1/3 ja 1/4. He ilmaisivat kaikki murtoluvut tällaisten egyptiläisten murtojen summina, vieläpä niin, että yhteenlaskettavat olivat aina keskenään erilaisia. Esimerkiksi:

ja
.

Apuna käytettiin erilaisia taulukoita.

Eräs tapa muuntaa tavallinen ykköstä pienempi (positiivinen) murto edellä mainitunlaiseksi summaksi on ahne algoritmi: Murrosta erotetaan ensimmäiseksi yhteenlaskettavaksi mahdollisimman suuri murto 1/m, jäännöksestä toinen mahdollisimman suuri murto 1/n ja niin edelleen niin kauan, ettei mitään jää. Menettely todella päättyy aina jossain vaiheessa, minkä todisti vuonna 1202 italialainen Fibonacci. Seuraavana esimerkki ahneen algoritmin tuottamasta esityksestä:

.

Kuten esityksestä ilmenee, ei ahne algoritmi ole aina kaikkein lyhin tapa esittää rationaaliluku resiprookkimuodossa.

Egyptiläisten murtolukuesitysten käyttö kokonaislukujen tekijöihinjaossaMuokkaa

Egyptiläiset murtolukuesitykset voivat nykyajan matematiikan harrastajan tai tutkijan mielestä tuntua lähinnä historialliselta kuriositeetilta. Tässä esitetään kuitenkin eräs nykyajan tietoliikenteen tietoturvaan liittyvä sovellus.

Monet julkisen avaimen infrastruktuurin (PKI) salakirjoitusmenetelmät nojautuvat siihen, että suurten kokonaislukujen kertominen keskenään on tietokoneilla erittäin helposti suoritettavissa, kun taas päinvastainen operaatio, suurten kokonaislukujen tekijöihinjako on erittäin vaikeaa. Tunnetuin esimerkki tällaisesta algoritmista on RSA.

RSA-menetelmän julkisen avaimen moduuliosa   on kahden suuren, esimerkiksi 100–200 -numeroisen alkuluvun tulo,  . Jos alkuluvut   ja   tunnetaan, salakirjoitusjärjestelmän murtaminen on helposti suoritettavissa.

Oletetaan, että tunnetaan jollakin positiivisella kokonaisluvulla  , missä luku   ei ole jaollinen luvuilla   tai  , luvun   egyptiläinen murtolukuesitys.

Olkoon

 ,

missä  .

Tällöin

 

Toisin kirjoittaen

 

Siten   jakaa välttämättä jonkin luvun   ja   jakaa jonkin luvun  .

Jos ko. egyptiläinen murtolukuesitys on satunnaisesti valittu, on hyvin todennäköistä, että  .

Tällöin luvun n alkutekijät saadaan selville laskemalla luvun   suurimmat yhteiset tekijät kunkin luvuista   kanssa.

Egyptiläisten murtolukujen tekijöihinjakomenetelmän etuna muihin tekijöihinjakomenetelmiin nähden on se, että

  • murtolukuesitysten laskemiseen ei tarvita luvun   tekijöihinjakoa
  • menetelmä hyödyntää sitä, että peruslaskutoimitukset (samoin kuin modulaariaritmetiikan perusoperaatiot) ovat helposti suoritettavissa normaalipituisia RSA-avaimia huomattavastikin suuremmilla (esimerkiksi kymmeniätuhansia numeroita sisältävillä) kokonaisluvuilla.

Osoitamme vielä, että luvulla  , missä   on kahden parittoman alkuluvun tulo, on aina olemassa egyptiläinen murtolukuesitys, joka 'erottelee' tekijät   ja  . Todetaan nimittäin, että

 ,

missä

 

ja

 .

LähteetMuokkaa

  1. Egyptian Fractions maths.surrey.ac.uk. Viitattu 6.4.2014. (englanniksi)

Aiheesta muuallaMuokkaa

 
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Egyptiläinen murtoluku.