Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa , jolle löytyy jokin funktio f siten että:

.

Toisin sanoen on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli .

Differentiaali on aina eksakti. [1]




Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

on ja .

Koska , on oltava .

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälötMuokkaa

  voidaan kirjoittaa muodossa  . Jos   on eksakti, eli on funktio f, jolle  , on tällöin   ja ratkaisu siten  , missä   on vakio.

IntegrointitekijätMuokkaa

Funktiota   kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta   eksaktin, eli

 

on eksakti. Tällöin on oltava

 

josta

 

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa   saamme

 

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle  

 

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: "Exact Differential" From MathWorld – A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 8.7.2019.

KirjallisuuttaMuokkaa