Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
f siten että:
d
f
=
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
Toisin sanoen
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}
Differentiaali
d
g
=
L
(
x
)
d
x
{\displaystyle dg=L(x)dx\,\!}
eksakti . [ 1]
df on voimassa
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}
on
∂
f
∂
x
=
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y)}
∂
f
∂
y
=
Q
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y)\,\!}
Koska
∂
∂
x
(
∂
f
∂
y
)
=
∂
∂
y
(
∂
f
∂
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}
Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.
muokkaa
d
y
d
x
=
−
P
(
x
,
y
)
Q
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}}
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\!}
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
f , jolle
d
f
=
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
d
f
=
0
{\displaystyle df=0\,\!}
f
(
x
,
y
)
=
λ
{\displaystyle f(x,y)=\lambda \,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
Funktiota
μ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)\,\!}
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}
μ
(
x
,
y
)
P
(
x
,
y
)
d
x
+
μ
(
x
,
y
)
Q
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy\,\!}
on eksakti. Tällöin on oltava
∂
∂
y
(
μ
P
)
=
∂
∂
x
(
μ
Q
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu P\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu Q\right)\,\!}
josta
μ
(
∂
P
∂
y
−
∂
Q
∂
x
)
+
P
∂
μ
∂
y
−
Q
∂
μ
∂
x
=
0
{\displaystyle \mu \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)+P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}-Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,\!}
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa
μ
≡
μ
(
x
)
{\displaystyle \mu \equiv \mu (x)\,\!}
1
μ
d
μ
d
x
=
(
∂
P
∂
y
−
∂
Q
∂
x
)
1
Q
{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dx}}=\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{Q}}\,\!}
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x :n funktio. Samoin integrointitekijälle
μ
(
y
)
{\displaystyle \mu (y)\,\!}
1
μ
d
μ
d
y
=
−
(
∂
P
∂
y
−
∂
Q
∂
x
)
1
P
{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dy}}=-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{P}}\,\!}
jos oikea puoli on vain y :n funktio.
