Ehrenfestin teoreema

Ehrenfestin teoreema on Paul Ehrenfestin kehittelemä menetelmä, jolla lasketaan hiukkasen observaabeleiden odotusarvojen riippuvuutta ajasta.

Yhtälöitä

Observaabelin odotusarvon aikariippuvuus yleisesti

Ehrenfestin mukaisesti observaabelin $\scriptstyle A$ odotusarvon $\scriptstyle \langle A\rangle$ riippuvuutta ajasta kuvaa yhtälö

${\frac {\partial \langle A\rangle }{\partial t}}={\Big \langle }{\frac {\partial A}{\partial t}}{\Big \rangle }+{\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}]\rangle$,

missä $i$ on imaginaariosa, $\scriptstyle \hbar$ Planckin vakion muunnos ja merkintä $\scriptstyle [{\hat {H}},{\hat {A}}]$ tarkoittaa Hamiltonin operaattorin $\scriptstyle {\hat {H}}$ ja operaattorin $\scriptstyle {\hat {A}}$ kommutaattoria. Hamiltonin operaattori taas kirjoitetaan muodossa $\scriptstyle H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})$, missä siis $\scriptstyle p$ on liikemäärä, $\scriptstyle m$ massa ja $\scriptstyle V({\vec {x}})$ potentiaali.

Paikan ja liikemäärän odotusarvon aikariippuvuus

Ehrenfestin teoreeman mukaan paikan $x$ odotusarvo ajan derivaattana on

${\frac {d\langle x\rangle }{dt}}={\Big \langle }{\frac {p}{m}}{\Big \rangle }$

ja liikemäärän $p$ odostusarvo ajan derivaattana

${\frac {d\langle p\rangle }{dt}}=-{\Big \langle }{\frac {dV({\vec {x}})}{dx}}{\Big \rangle }$.

Aiheesta muualla

• Ehrenfest's theorem
• Proof of Ehrenfest's Theorem (Arkistoitu – Internet Archive)