Banachin tulitikkuongelma

Banachin tulitikkuongelma on klassisen todennäköisyyslaskennan tehtävä, joka on kunnianosoitus Stefan Banachille. Matemaatikko Hugo Steinhaus kertoi, että ongelman inspiraation lähteenä oli ollut Banachin tupakointi, ja koska nimestä tuli kirjallisuudessa niin suosittu, hän päätti olla muuttamatta ongelman nimeä.

Kuvitellaan tilanne, jossa matemaatikko kantaa aina yhtä tulitikkurasiaa oikeassa taskussaan ja yhtä tulitikkurasiaa vasemmassa taskussaan. Kun hän tarvitsee tulitikun, hän valitsee toisen taskuista sattumanvaraisesti, käyttää yhden tulitikun ja laittaa rasian taskuun katsomatta, kuinka monta tulitikkua rasiaa jäi. Tarkastellaan tilannetta, jossa matemaatikko huomaa ensimmäisen kerran, että toinen rasioista on tyhjä. Oletetaan, että alun perin molemmissa rasioissa on täsmälleen $N$ tulitikkua. Mikä on todennäköisyys, että toisessa rasiassa on täsmälleen $k$ tikkua ($k=0,1,\ldots ,N$) silloin, kun matemaatikko havaitsee toisen rasian olevan tyhjä?

Ratkaisu

Olkoon vasemman taskun valinta ”onnistuminen” ja oikean taskun valinta ”epäonnistuminen”. Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen k tikkua jos ja vain jos täsmälleen N−k epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista N+1. Taskun valinnan todennäköisyys on p = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi

$P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k+1}$.

Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on k tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on

$2P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}$.

Taulukko

Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on $N=50$, nähdään seuraavasta taulukosta. $p_{k}$ on todennäköisyys sille, että rasiassa on $k$ tikkua. $\Sigma p_{k}=p_{0}+...+p_{k}$ on todennäköisyyksien summa.

k	$p_{k}$	$\Sigma p_{k}$		k	$p_{k}$	$\Sigma p_{k}$		k	$p_{k}$	$\Sigma p_{k}$
0	0,079 589	0,079 589		17	0,015 447	0,952 469		34	0,000 012	0,999 981
1	0,079 589	0,159 178		18	0,012 283	0,964 752		35	0,000 006	0,999 987
2	0,078 785	0,237 963		19	0,009 587	0,974 338		36	0,000 003	0,999 999
3	0,077 177	0,315 140		20	0,007 338	0,981 676		37	0,000 001	0,999 999
4	0,074 790	0,389 931		21	0,005 504	0,987 180		38	<0,000001	0,999 999
5	0,071 674	0,461 605		22	0,004 041	0,991 220		39	<0,000001	0,999 999
6	0,067 902	0,529 506		23	0,002 901	0,944 121		40	<0,000001	0,999 999
7	0,063 568	0,593 073		24	0,002 034	0,996 155		41	<0,000001	0,999 999
8	0,058 671	0,651 855		25	0,001 392	0,997 547		42	<0,000001	0,999 999
9	0,053 671	0,705 527		26	0,000 928	0,998 475		43	<0,000001	0,999 999
10	0,048 363	0,753 890		27	0,000 602	0,999 077		44	<0,000001	0,999 999
11	0,042 989	0,796 879		28	0,000 379	0,999 456		45	<0,000001	0,999 999
12	0,037 676	0,834 555		29	0,000 232	0,999 688		46	<0,000001	0,999 999
13	0,032 538	0,867 094		30	0,000 137	0,999 825		47	<0,000001	0,999 999
14	0,027 676	0,894 770		31	0,000 078	0,999 903		48	<0,000001	0,999 999
15	0,023 171	0,917 941		32	0,000 043	0,999 946		49	<0,000001	0,999 999
16	0,019 081	0,937 022		33	0,000 023	0,999 969		50	<0,000001	1,0

Katso myös

• Stefan Banach
• Banachin avaruus
• Banachin kiintopistelause
• Banachin–Tarskin paradoksi

Aiheesta muualla

• Java-sovellus