Autokorrelaatio
Tilastotieteessä ja signaalinkäsittelyssä autokorrelaatio on matemaattinen työkalu, joka kuvaa aikasarjan havaintojen välistä riippuvuutta havaintojen välisen aikaeron funktiona. Voidaan ajatella, että aikasarjassa esiintyy autokorrelaatiota silloin, kun sarja ei ole täysin satunnainen, vaan uudet havainnot riippuvat jollain tavalla olemassa olevista havainnoista.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Acf.svg/250px-Acf.svg.png)
Määritelmä
muokkaaAutokorrelaatio määritellään odotusarvona :n suhteen
- ,
missä on aikasarjan näytteen arvo hetkellä . Symboli tarkoittaa kompleksikonjugointia ja reaaliarvoiselle aikasarjalle tällä ei siis ole vaikutusta.
Valkoisen kohinan autokorrelaatio
muokkaaOlkoon jono normaalijakautunutta kohinaa odotusarvolla , jonka eri ajanhetkiltä peräisin olevat näytteet ovat korreloimattomia. Määritelmän mukaan kaksi satunnaismuuttujaa ovat korreloimattomat, jos niille pätee
- .
Korreloimattomuudesta ja kohinan nolla-keskiarvoisuudesta seuraa, että
Tässä on varianssi-operaattori.
Autokorrelaation estimointi
muokkaaKäytännön sovelluksissa tilastollista autokorrelaatiota ei tunneta, vaan se joudutaan estimoimaan havaitusta aineistosta.
Autokorrelaatiomenetelmä
muokkaaAutokorrelaatio estimoidaan menetelmällä
Tämä estimaattori on harhainen, mutta asymptoottisesti harhaton.
Esimerkkejä
muokkaaR
muokkaaTuotetaan R:llä aikasarja käyttäen autoregressiomallia , jolloin voidaan odottaa sarjasta löytyvän selvää autokorrelaatiota sarjan aikaisempien arvojen välillä:
rand = rnorm(1000) x = rep(0, 1000) for (i in 2:1000) { x[i] = 0.95 * x[i - 1] + rand[i] } acf(x, 20, pl=FALSE)
Autocorrelations of series ‘x’, by lag
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.000 0.912 0.830 0.743 0.666 0.598 0.541 0.486 0.441 0.391 0.341 0.295 0.256 13 14 15 16 17 18 19 20 0.216 0.191 0.173 0.158 0.140 0.124 0.105 0.083
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- Hayes, Monson H. 1996: Statistical signal processing and modeling, Wiley & sons.
Kirjallisuutta
muokkaa- Oppenheim, Alan V. & Schafer, Roland W.: Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Inc., 1975. ISBN 0-13-214635-5.
- Rabiner, Lawrence R. & Gold, Bernard: Theory and Application of Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Inc., 1975. ISBN 0-13-914101-4.