Impulssi- ja askelvaste

Signaalin käsittelyssä dynaamisen järjestelmän vaste kuvaa järjestelmän lähdön reagointia tulosignaalin muutokseen ajan funktiona. Vasteen kuvaajan avulla voidaan helposti nähdä järjestelmälle tärkeitä ominaisuuksia, kuten asettumisaika tai pysyvä poikkeama. Näiden avulla voidaan tehdä tarvittavia muutoksia säätöön, jotta saavutettaisiin haluttu lopputulos esimerkiksi yritettäessä pitää sähkömoottorin pyörimisnopeus vakiona kuorman muuttuessa. Vasteet ovat hyödyllisiä työkaluja suunniteltaessa sähköisien järjestelmien säätöä. Sähkötekniikassa vastetta käytettäessä järjestelmän lähtö Y(s) saadaan  usein siirtofunktion avulla muodossa

$Y(s)=G(s)U(s),\!\$

missä U(s) on tulosignaali ja G(s) kuvaa järjestelmän siirtofunktiota. Edellä esitetty yhtälö on Laplace-muunnettu yhtälön käsittelyn helpottamiseksi. Systeemin testauksessa ja suunnittelussa yleisimmin käytetyt tulosignaalit ovat impulssi- ja askelfunktio. Näiden lisäksi voidaan käyttää mm. ramppifunktiota.

Askelvaste

Askelfunktion kuvaaja

Askelvasteella tarkoitetaan järjestelmän vastetta, kun syötettävä signaali on askelfunktio. Askelfunktiolla tarkoitetaan askelmaista muutosta järjestelmän tulossa ajanhetkellä t. Askelfunktiona käytetään usein yksikköaskelfunktiota, jonka muutos on nollasta arvoon 1 ajanhetkellä t =0. Askelfunktio määritellään yhtälöllä

${\begin{cases}u(t)=0\!\ ,\quad t\leq 0\!\ \\u(t)=1\!\ ,\quad t>0.\!\ \end{cases}}$

Askelvaste ensimmäisen, toisen ja kolmannen kertaluvun järjestelmille. Kuvasta nähdään, että korkeamman kuin ensimmäisen kertaluvun järjestelmä voi tuottaa vasteeseen värähtelyä.

Yksikköaskelvasteesta voidaan nähdä systeemin stabiilissa tapauksessa nopeus ja  vaimennus. Lisäksi nähdään onko järjestelmän siirtofunktion kertaluku 1 vai suurempi vasteen kuvaajan käyttäytymisen perusteella. Yksikköaskel Laplace-tasossa on $1/s$.  

Ensimmäistä kertalukua olevien järjestelmien askelvasteen kuvaajasta voidaan muiden ominaisuuksien lisäksi määrittää myös aikavakio.

Impulssivaste

Yksikköimpulssin suorakaideapprokksimaatio

Impulssivasteella  tarkoitetaan järjestelmän vastetta, kun tuloon syötetään yksikköimpulssi, joka on yksinkertaisin mahdollinen signaali. Tällaista äärettömän korkeaa ja kapeaa signaalia, jonka integraalin arvo on 1, kutsutaan myös Diracin deltafunktioksi. Diracin deltafunktio Laplace-tasossa on 1.

LTI-järjestelmän (lineaarinen ja aikainvariantti-järjestelmä) ominaisuuksia ja käyttäytymistä voidaan tarkastella impulssivasteen avulla syöttämällä järjestelmään erilaisia tuloja.

Järjestelmän lähtö y(t) voidaan määrittää seuraavasti konvoluutio-integraalin avulla mielivaltaiselle tulosignaalille g(t) kunhan järjestelmän yksikköimpulssivaste tiedetään

$y(t)=\int _{0}^{t}g(t-\tau )\delta (\tau )\,d\tau ,$

missä $\delta$ tarkoittaa järjestelmään syötettävää yksikköimpulssia.

Todellista yksikköimpulssia ei voida toteuttaa fysikaalisessa järjestelmässä. Sitä voidaan kuitenkin approksimoida lyhyellä suorakaiteella, jonka kestoaika on t ja korkeus 1/t. Mitä lyhyempi kestoaika on sitä paremmin approksimaatio vastaa matemaattisesti määriteltyä yksikköimpulssia. Impulssifunktio antaa hyvän ja pelkistetyn kuvan järjestelmän toiminnasta tutkittaessa lähdön vastetta.

Ensimmäisen kertaluvun järjestelmän impulssivasteita.

Lähteet

• Piirianalyysi. Julius Luukko, 2009, Lappeenrannan teknillinen yliopisto.
• Sähkötekniikka ja piiriteoria, Kimmo Silvonen, 2009, Otatieto
• Differential Equations, chapter 2, Carol Ash, University of Illinois.
• Signaalinkäsittelyn menetelmät (Arkistoitu – Internet Archive), Heikki Huttunen 2005, Tampereen teknillinen yliopisto.