Avaa päävalikko
Kahden aikasarjan konvoluutio.

Matematiikassa ja erityisesti funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion ja välille määritelty operaatio, joka tuottaa uuden funktion .[1] Konvoluutiota käytetään tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

MääritelmäMuokkaa

Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

 

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

 

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä

 .

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

 

Konvoluution ominaisuuksiaMuokkaa

Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

  • Assosiatiivisuus
 
  • Distributiivisuus
 
  • Kommutatiivisuus
 
  • Skalaarimonikerta
 
 

KonvoluutioteoreemaMuokkaa

Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

 ,

missä   ja   ovat funktioiden   ja   Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille integraalimuunnoksille.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.