Aksiomaattinen joukko-oppi

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Aksiomaattinen joukko-oppi

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

1. Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
   $\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$
2. Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa $\{\}$.
3. Pariaksiooma: Jos $x$ ja $y$ ovat joukkoja, niin myös $\{x,y\}$ on joukko, joka sisältää vain alkiot $x$ ja $y$.
   $\forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z).$
4. Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$, jonka alkiot ovat samat kuin joukon $x$ alkioiden alkiot.
5. Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko $x$, että $\{\}$ on $x$:n alkio ja aina kun $y$ on $x$:n alkio, niin on myös unioni $y\cup \{y\}$.
6. Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) $P(x)$ kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon $x$ alkiot, joille $P(x)$ pätee.
7. Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa $P(x,y)$ missä ehdosta $P(x,y)$ ja $P(x,z)$ seuraa $y=z$, kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
8. Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$, joka sisältää vain kaikki $x$:n osajoukot.
9. Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko $x$ sisältää sellaisen alkion $y$, että $x$ ja $y$ ovat erillisiä joukkoja. $\forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].$
10. Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta $x$:n alkiosta.

Katso myös

• Valinta-aksiooma

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.
• Laakso, Erkki: Joukko-opin kehittäminen Zermelo-Fraenkelin aksioomien pohjalta. Pro gradu -tutkielma: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan laitos, 1975. Finna.fi-tietokanta.