Brouwerin kiintopistelause

Brouwerin kiintopistelause on matematiikan useista kiintopistelauseista ehkä kaikkein tärkein ja se on nimetty alankomaalaisen matemaatikon Luitzen Egbertus Jan Brouwerin mukaan. Kyseessä on erittäin vahva matemaattinen tulos, sillä kiintopisteen olemassaolon oletuksena on vain n-ulotteinen suljettu yksikkökuula, joka kuvautuu jatkuvasti itselleen. Lauseen 1-ulotteinen tapaus on triviaali (käytännössä Bolzanon lause), mutta ei ole itsestään selvää, että tulos pätee kaikissa Euklidisen avaruuden ulottuvuuksissa. Lauseen ehdot ovat selvästi välttämättömiä, jatkuvuus ja suljettu kuula (hieman yleisemmin kompaktin ja konveksin joukon kanssa homeomorfinen joukko), mutta tulos ei suoraan päde ääretönulotteisille avaruuksille, sillä suljetut ja rajoitetut joukot eivät välttämättä ole enää kompakteja. Brouwerin kiintopistelause on Euklidista avaruutta karakterisoiva topologinen ominaisuus ja tuloksella on paljon sovelluksia useilla matematiikan osa-alueilla.

Tulos

"Jokaisella jatkuvalla kuvauksella Euklidisen avaruuden suljetulta yksikkökuulalta itselleen on olemassa kiintopiste."

Olkoon $f:{\bar {B}}^{n}\rightarrow {\bar {B}}^{n}$ jatkuva. Löytyy $x\in {\bar {B}}^{n}$ siten, että $f(x)=x$.

Kirjallisuutta

• Zeidler, Eberhard: Nonlinear Functional Analysis and its Applications: I: Fixed-Point Theorems.