Ero sivun ”Kanta (lineaarialgebra)” versioiden välillä

[[Image:Basis graph.png|thumb|Karteesisen avaruuden kantavektorit.]]

[[Lineaarialgebra]]ssa '''kanta''' on minimaalinen joukko vektoreita, joiden [[lineaarikombinaatio]]na saadaan kaikki annetun avaruuden [[vektori]]t. Tarkemmin, [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] kanta on joukko [[lineaarisesti riippumaton|lineaarisesti riippumattomia]] vektoreita, jotka virittävät koko avaruuden.

 

== Määritelmä ==

 

Lineaarikombinaatio on [[äärellinen]] summa muotoa ''a''₁''v''₁ + … + ''a''_''n''''v''_''n'', missä ''v''_''k'':t ovat ''B'':n eri vektoreita ja ''a''_''k'':t ovat [[skalaari|skalaareita]]. Vektorit ''B'':ssä ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ''a''₁''v''₁ + … + ''a''_''n''''v''_''n'' = 0, jos ja vain jos ''a''₁ = … = ''a''_''n'' = 0. Joukko ''B'' on virittäjäjoukko, jos jokainen ''V'':n vektori on lineaarikombinaatio ''B'':n vektoreista.

 

== Kannan ominaisuuksia ==

 

Jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Kaikilla yhden vektoriavaruuden kannoilla on sama määrä vektoreita. Tätä kannan vektorien lukumäärää kutsutaan vektoriavaruuden dimensioksi dim(''V''). Käsite kertoo siis samalla minimaali­sen määrän vektoreita, joka riittää virittämään ''V'':n. Tasossa kaksi erisuuntaista vektoria on tason kanta. Kolmiulotteisessa avaruudessa kolme vektoria, jotka eivät ole samassa tasossa, muodostavat kannan. Toisin sanoen kantaa voidaan ajatella [[koordinaatisto|koordinaattiakselistona]].

 

Kanta on vain joukko vektoreita ilman järjestystä. Usein on kuitenkin kätevää luetella kantavektorit tietyssä järjestyksessä. Tätä järjestettyä kantaa ei määritellä joukoksi, vaan sarjak­si lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka virittävät ''V'':n. Jos vektorit ''u'', ''v'', ''w'' muodostavat avaruuden kannan, se voidaan ilmoittaa järjestettynä kolmikkona (''u, v, w''). Tällöin jokaista vektoria ''a'' vastaa yksikäsitteisesti järjestetty lukukolmikko (r, s, t) siten, että ''a'' = r''u'' + s''v'' + t''w''.

Luvut r, s ja t ovat ''a'':n koordinaatit kannan (''u, v, w'') suhteen ja järjestettyä kolmikkoa (r, s, t) nimitetään vektorin ''a'' koordinaattiesitykseksi.

 

== Kannaksi laajentaminen ==

 

Minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman joukon ja virittävän joukon välissä on kanta. Muodollisemmin sanottuna: jos ''L'' on lineaarisesti riippumaton joukko vektoriavaruudessa ''V'' ja jouk­ko ''G'' virittää ''V'':n ja sisältää joukon ''L'', niin on olemassa ''V'':n kanta, joka sisältää ''L'':n ja joka sisältyy ''G'':hen. Nimenomaan (kun ''G'' = ''V'') mikä tahansa lineaarisesti riippumaton joukko ''L'' voidaan laajen­taa muodostamaan ''V'':n kannan. Nämä laajennukset eivät ole yksikäsitteisiä. Virittäjäjoukkoa voidaan myös karsia (pudottamalla sopivat vektorit pois), jotta siitä saadaan kanta.

 

== Esimerkki ==

''v'' = (-2,1) = (-2)(1,0) + (1)(0,1). Se on esitetty myös koordinaatistoon piirrettynä kuvassa sivun yläreunassa.

Kuitenkin mitkä tahansa kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria, kuten (1,1) ja (-1,2), voivat myös muodostaa '''R'''²:n kannan.

 

Yleisemmin vektorit '''e'''₁, '''e'''₂, ..., '''e'''_''n'' ovat lineaarisesti riippumattomia ja virittä­vät avaruuden '''R'''ⁿ. Siten ne muodostavat '''R'''ⁿ:n kannan ja '''R'''ⁿ:n dimensio on n.

 

[[Luokka:Lineaarialgebra]]