Ero sivun ”Kanta (lineaarialgebra)” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: bs:Baza (linearna algebra) |
Muokattu määritelmää, lisätty otsikot Kannan ominaisuuksia, Kannaksi laajentaminen ja Esimerkki |
||
Rivi 1:
[[Image:Basis graph.png|thumb|Karteesisen avaruuden kantavektorit.]]
[[Lineaarialgebra]]ssa '''kanta''' on minimaalinen joukko vektoreita, joiden [[lineaarikombinaatio]]na saadaan kaikki annetun avaruuden [[vektori]]t. Tarkemmin, [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] kanta on joukko [[lineaarisesti riippumaton|lineaarisesti riippumattomia]] vektoreita, jotka virittävät koko avaruuden.
== Määritelmä ==
1. ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> ovat lineaarisesti riippumattomia ja
2. jokainen ''B'':n vektori voidaan lausua vektoreiden ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> lineaarikombinaationa. Toisin sanoen vektorit ''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> virittävät ''V'':n eli span(''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>) = ''V''.
Lineaarikombinaatio on [[äärellinen]] summa muotoa ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub>, missä ''v''<sub>''k''</sub>:t ovat ''B'':n eri vektoreita ja ''a''<sub>''k''</sub>:t ovat [[skalaari|skalaareita]]. Vektorit ''B'':ssä ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + … + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub> = 0, jos ja vain jos ''a''<sub>1</sub> = … = ''a''<sub>''n''</sub> = 0. Joukko ''B'' on virittäjäjoukko, jos jokainen ''V'':n vektori on lineaarikombinaatio ''B'':n vektoreista.
== Kannan ominaisuuksia ==
Jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Kaikilla yhden vektoriavaruuden kannoilla on sama määrä vektoreita. Tätä kannan vektorien lukumäärää kutsutaan vektoriavaruuden dimensioksi dim(''V''). Käsite kertoo siis samalla minimaalisen määrän vektoreita, joka riittää virittämään ''V'':n. Tasossa kaksi erisuuntaista vektoria on tason kanta. Kolmiulotteisessa avaruudessa kolme vektoria, jotka eivät ole samassa tasossa, muodostavat kannan. Toisin sanoen kantaa voidaan ajatella [[koordinaatisto|koordinaattiakselistona]].
Kanta on vain joukko vektoreita ilman järjestystä. Usein on kuitenkin kätevää luetella kantavektorit tietyssä järjestyksessä. Tätä järjestettyä kantaa ei määritellä joukoksi, vaan sarjaksi lineaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka virittävät ''V'':n. Jos vektorit ''u'', ''v'', ''w'' muodostavat avaruuden kannan, se voidaan ilmoittaa järjestettynä kolmikkona (''u, v, w''). Tällöin jokaista vektoria ''a'' vastaa yksikäsitteisesti järjestetty lukukolmikko (r, s, t) siten, että ''a'' = r''u'' + s''v'' + t''w''.
Luvut r, s ja t ovat ''a'':n koordinaatit kannan (''u, v, w'') suhteen ja järjestettyä kolmikkoa (r, s, t) nimitetään vektorin ''a'' koordinaattiesitykseksi.
== Kannaksi laajentaminen ==
Minkä tahansa lineaarisesti riippumattoman joukon ja virittävän joukon välissä on kanta. Muodollisemmin sanottuna: jos ''L'' on lineaarisesti riippumaton joukko vektoriavaruudessa ''V'' ja joukko ''G'' virittää ''V'':n ja sisältää joukon ''L'', niin on olemassa ''V'':n kanta, joka sisältää ''L'':n ja joka sisältyy ''G'':hen. Nimenomaan (kun ''G'' = ''V'') mikä tahansa lineaarisesti riippumaton joukko ''L'' voidaan laajentaa muodostamaan ''V'':n kannan. Nämä laajennukset eivät ole yksikäsitteisiä. Virittäjäjoukkoa voidaan myös karsia (pudottamalla sopivat vektorit pois), jotta siitä saadaan kanta.
== Esimerkki ==
Ajatellaan koordinaattiavaruutta '''R'''<sup>2</sup> kaikkien koordinaattien (''a,b'') vektoriavaruutena, missä sekä ''a'' että ''b'' ovat molemmat reaalilukuja. Tällöin helppo kanta on yksinkertaisesti vektorit '''e'''<sub>1</sub> = (1,0) ja '''e'''<sub>2</sub> = (0,1): oletetaan että ''v'' = (''a,b'') on vektori avaruudessa '''R'''<sup>2</sup>, tällöin
''v'' = ''a''(1,0)+ ''b''(0,1). Yksi mahdollinen '''R'''<sup>2</sup>:n kanta on
''v'' = (-2,1) = (-2)(1,0) + (1)(0,1). Se on esitetty myös koordinaatistoon piirrettynä kuvassa sivun yläreunassa.
Kuitenkin mitkä tahansa kaksi lineaarisesti riippumatonta vektoria, kuten (1,1) ja (-1,2), voivat myös muodostaa '''R'''<sup>2</sup>:n kannan.
Yleisemmin vektorit '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub> ovat lineaarisesti riippumattomia ja virittävät avaruuden '''R'''<sup>n</sup>. Siten ne muodostavat '''R'''<sup>n</sup>:n kannan ja '''R'''<sup>n</sup>:n dimensio on n.
{{tynkä/Matematiikka}}
| |||