Versio 4. lokakuuta 2009 kello 21.48 muokkaa ML (keskustelu \| muokkaukset) seulojat, palauttajat 47 781 muokkausta rv, artikkelin yleinen määritelmä muutettiin suppeammaksi jm. ← Vanhempi muutos		Versio 4. lokakuuta 2009 kello 22.14 muokkaa kumoa Joak~fiwiki (keskustelu \| muokkaukset) 8 muokkausta Ei muokkausyhteenvetoa Uudempi muutos →
Rivi 1: {{yhdistettävä\|Yläraja}} Supremum perustuu [[Yläraja\|ylärajan]] käsitteeseen. [[Reaaliluku\|Reaalikuku]] E on joukon S '''supremum''' eli pienin '''yläraja''' joss se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienimpi [[Reaaliluku\|reaalikuku]] ole joukon S yläraja. [[Reaaliluku\|Reaalikuku]] E on myös suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita. Jos supremum on olemassa, se on yksikäsitteinen. Jos reaalilukujen osajoukko S on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S supremum. Joukon supremum ei välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää suurimmän alkion eli [[Maksimi\|maksimin]], on se joukon S supremum. Joukon S supremumia merkitään E = sup(S). ==Joukon supremum== [[Järjestetty joukko\|Järjestetyn joukon]] T osajoukon S '''supremum''' eli '''pienin yläraja''' on joukon T alkio, joka on pienin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita suuremmista tai yhtä suurista alkioista. Joukon supremum ei siis välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää [[Suurin alkio\|suurimman alkion]] eli maksimin, on se myös joukon supremum. Supremum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa. '''[[Yläraja\|Ylärajan]] määritelmä.''' Olkoon <math>S \subset \R </math>. [[Reaaliluku\|Reaalilukujen joukossa]] kaikilla ylhäältä rajoitetuilla joukoilla on supremum. Ylhäältä rajoittamattomille osajoukoille supremum määritellään joskus äärettömyydeksi, koska sitä ei muuten ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen supremum. Reaaliluku E on joukon S [[Yläraja\|yläraja]] , jos ja vain jos kaikille <math> x \in S </math> pätee x ≤ E. Joukko S on ylhäältä rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen [[Yläraja\|yläraja]]. '''Supremumin määritelmä.''' Olkoon edelleen <math>S \subset \R </math>. Luku E <math> \in \R</math> on joukon S '''supremum''' eli '''pienin yläraja''', jos ja vain jos se on pienin joukon S ylärajoista eikä mikään pienempi reaaliluku ole joukon S yläraja. Tällöin merkitään E = sup(S). Siis joukolla S on supremum ja kyseinen supremum on E. E = sup(S) <math> \Longleftrightarrow </math> 1) E ≥ x kaikilla x <math> \in </math> S eli E on joukon S yläraja. 2) E ≤ M kaikilla joukon S ylärajoilla M. Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku E on joukon S supremum jos ja vain jos E on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja E on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S ylärajoja. Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa supremum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi supremum. '''Todistus.''' Olkoon sup(S) = E ja sup(S) = E2. Siis E2 on joukon S eräs yläraja. Tällöin supremumin määritelmän nojalla E ≤ E2. Samoin saadaan E2 ≤ E. Siis E = E2. Täydellisyysaksiooma: Jos joukko <math> S \subset \R </math> on epätyhjä ja se on ylhäältärajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yläraja joukossa <math> \R </math>. Epätyhjä tarkoittaa, että joukon S täytyy sisältää ainakin yksi reaaliluku. Siis jos sup(S) on olemassa, niin joukko S on ylhäältä rajoitettu. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum. ==Joukon maksimi== Joukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum. Jos <math>S \subset \R </math> ja maxS on olemassa niin maxS = sup(S). '''Todistus.''' Olkoon olemassa maxS = E. 1)E on joukon S yläraja eli kaikilla x <math>\in</math> S pätee x ≤ E. 2)Koska E <math> \in </math> S niin E ≤ sup(S). Toisaalta 1):n nojalla E on joukon S yläraja. Siis E ≥ sup(S). Siis E = sup(S). Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisellä joukolla ei ole suurinta alkiota sillä jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x <math> \in \R^- </math> on olemassa x/2 <math> \in \R^- </math>, jolle x < x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla on yläraja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yläraja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia. ~~Jos <math>A</math> on järjestetty joukko, niin sen supremumia merkitään symbolilla~~ ~~<center><math>\sup_{a \in A} a</math>, <math>\sup \{ a \, \| \, a \in A \}</math> tai <math>\sup A</math>.</center>~~ ~~Kasvavan lukujonon <math>A = (a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>, jolle siis <math>a_{i+1} > a_i</math>, supremumia voi merkitä symbolilla~~ ~~<center><math>\sup_{n \rightarrow \infty} a_n</math>.</center>~~ ==Esimerkkejä== <math>\sup([0,1])= 1, max = 1 </math> <math>\sup(]0,1[)= 1, max = </math> ei ole <math>\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,</math> <math>\sup \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,</math> Rivi 24 ⟶ 64: * [http://mathworld.wolfram.com/Supremum.html MathWorld. Supremum] == Lähteet== Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7-8. Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11-14. Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006. http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/AnalyysinPeruskurssi/supremum.pdf Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17-20, 24-26. http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf / https://matta.hut.fi/matta2/mtreeni1/ag/ag002.pdf [[Luokka:Kategoriateoria]]

Ero sivun ”Supremum” versioiden välillä