Ero sivun ”Ekvivalenssirelaatio” versioiden välillä

Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan refleksiivisyydeksi, toista symmetrisyydeksi ja kolmatta transitiivisuudeksi. JokuJokin yksittäinen määritelty [[relaatio]] eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

Toinen esimerkki: Määritellään relaatio I reaalilukujen välillä siten että aIb jos a-b on kokonaisluku. I on refleksiivinen, koska a-a = 0 on kokonaisluku. Jos aIb eli a-b on kokonaisluku, niin myös b-a on kokonaisluku eli bIa, jajoten I on symmetrinen. Myös jos aIb ja bIc, niin a-b ja b-c ovat kokonaislukuja eli myös a-c on kokonaisluku. Tällöin aIc ja I on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat I:lle voimassa, jajoten I on ekvivalenssirelaatio.

Eo.Edellä kuvattu relaatio I tavallaan samaistaa kaikki keskenään ekvivalentit reaaliluvut joiden voidaan katsoa muodostavan yhden ekvivalenssiluokan. Esimerkiksi lukua 5/7 vastaavat ekvivalentit eli samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat luvut ovat (5/7)+n, missä n on kokonaisluku.

Ekvivalenssiluokat voidaan ajatella esitetyiksi myös yksittäisten edustajiensa välityksellä. Esimerkiksi eo.mainitussa ekvivalenssissa I voidaan valita luvut vaikka puoliavoimelta väliltä [0,1) edustamaan kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia. Kuten huomataan, kaikki muut reaaliluvut ovat pakosta ekvivalentteja jonkunjonkin näistä luvuista kanssa.

Joukossa ''X'' määriteltyä ekvivalenssirelaatiota vastaa jokin joukon ''X'' [[ositus]], ja toisaalta jos joukossa ''X'' on annettu ositus, voidaan osituksen avulla määrittää ''X'':ään ekvivalenssirelaatio. Tästä lauseestä käytetään toisinaan nimitystä '''ekvivalenssirelaatioiden peruslause'''.