Ero sivun ”Rencontre-ongelma” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
→Ongelman ratkaisu: likiarvoja |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
'''Rencontre-ongelmalla''' eli '''yhteensattumisongelmalla''' tarkoitetaan todennäköisyyttä, että kun esimerkiksi joukko ihmisiä tuo pikkujouluihin lahjapaketin ja ne jaetaan umpimähkäisesti, että kukaan ei saa omaa pakettiaan. Todennäköisyys riippuu lahjan tuojien lukumäärästä, mutta se on yllättävällä tarkkuudella lähes vakio <math>0.368</math>.
== Ongelman ratkaisu ==
Rivi 5:
Olkoon lahjapaketin tuojien lukumäärä <math>n \in \mathbb{N}</math>. Sovitaan, että tapahtuma <math>A_i</math> sattuu, jos henkilö <math>i</math> saa oman lahjansa. Kysytty todennäköisyys on siis
<center><math>\mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^c \right)</math>.</center>
[[De Morganin lait|De Morganin lakien]] mukaan pätee yhtälö
<center><math>\bigcap_{i=1}^n A_i^c = \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)^c</math>.</center>
Tämän ja komplementin todennäköisyyden kaavalla saadaan
<center><math>\mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^c \right) = \mathbb{P} \left[ \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)^c \right]= 1-\mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)</math>.</center>
Todennäköisyyslaskennan yleinen yhteenlaskukaava on
Rivi 20:
<center><math>\mathbb{P} \left( \bigcap_{i=1}^n A_i^c \right) = 1 - \sum_{k=1}^n \left( (-1)^{k-1} {n \choose k} \frac{(n-k)!}{n!} \right) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}</math>.</center>
Tämän kaavan avulla pystytään kysytty todennäköisyys laskemaan helposti eri lukumäärän <math>n</math> arvoille. Kun <math>n</math> lähestyy ääretöntä, suppenee todennäköisyys [[eksponenttifunktio]]n määritelmän mukaan kohti [[Neperin luku|Neperin luvun]] [[käänteisluku]]a <math>e^{-1} \approx 0.367 \, 879</math>. Summalausekkeen luonteesta johtuen suppeneminen on hyvin nopeaa.
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
|- bgcolor="#efefef"
Rivi 47 ⟶ 48:
|-
|<math>9</math>
|<math>\frac{16687}{45360} \approx 0.367 \, 879
|}
| |||