Ero sivun ”Funktioteoria” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 9:
Tässä siis myös luku <math>h</math> on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.<ref>http://mathworld.wolfram.com/AnalyticFunction.html</ref>
[[Bernhard Riemann]] määritteli analyyttisen funktion toisella tavoin Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio <math>f(x+iy)= u(x,y)+iv(x,y)</math> ( tässä <math>z=x+iy</math>) voidaan esittää kahden reaalimuuttujan x ja y avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio <math>f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math> on analyyttinen alueessa <math>G</math>, jos "osafunktiot" <math>u(x,y)</math> ja <math>v(x,y)</math> ovat sekä derivoituvia aluetta <math>G</math> vastaavalla reaalisella tasoalueella ja että ne toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt
:<math>u_x(x,y)=v_y(x,y)</math> ja <math>u_y(x,y)=-v_x(x,y)</math>.
| |||