Ero sivun ”Analyyttinen lukuteoria” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 7:
Suurin yksittäinen analyyttisen lukuteorian menetelmä 1950-luvun jälkeen on ollut [[seulamenetelmä]]t, jotka sopivat erityisesti multiplikatiivisiin ongelmiin. Nämä menetelmät ovat luonteeltaan kombinatorisia.
Myös [[probabilistinen lukuteoria|probabilististä lukuteoriaa]] käytetään paljon. Probabilistisen lukuteorian ideana on laskea todennäköisyys, että satunnaisesti valitulla tietyn perusjoukon alkiolla on tietty ominaisuus. Jos perusjoukko on äärellinen ja tämä todennäköisyys on 1, niin tällöin ominaisuus pätee kaikilla alkioilla ja lause on saatu todistettua. Äärettömien joukkojen ollessa kysymyksessä tällainen logiikka ei päde, koska ne voivat sisältää äärettömiäkin sellaisia nollamitallisia osajoukkoja, joissa ko. ominaisuus ei ole voimassa. Numeroituvan perusjoukon ollessa kysymyksessä todennäköisyys 1 tarkoittaa sitä, että niiden alkioiden, joilla ko. ominaisuus ei ole voimassa, suhteellinen osuus lähestyy asymptoottisesti nollaa, kun alkioita käydään läpi numerointijärjestyksessä.
==Esimerkki probabilistisestä lukuteoreettisesta virhepäätelmästä==
Väitämme, että lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa alkulukujen tiheys on 1/2.
Muodostamme näiden kokonaislukujen numeroinnin siten, että valitsemme numerointiin
vuorotellen alkuluvun ja yhdistetyn luvun niiden esiintymisjärjestyksessä. Näin saamme lukujonon
:<math>2,4,3,6,5,8,7,9,11,10,13,12,17,14,19,15,23,16,29,...</math>
Näin saadusta lukujonosta toteamme helposti, että:
* Se sisältää kaikki lukua 1 suuremmat luonnolliset luvut, jokaisen täsmälleen yhteen kertaan ja
* Joka toinen jonon luvuista on alkuluku.
Tämän perusteella voitaisiin helposti vetää se johtopäätös, että lukua 1 suurempien luonnollisten
lukujen joukossa esiintyisi alkulukuja tiheydellä 1/2 ts. todennäköisyys sille, että joukosta "satunnaisesti"
valittu luku on alkuluku, olisi 50%.
Virhepäätelmä johtuu siitä, että uuden lukujen järjestyksen muuttamisen yhteydessä todennäköisyysjakaumaa
on muutettu "työntämällä" yhdistetyt luvut kauemmaksi.
[[luokka:analyyttinen lukuteoria]]
| |||