Ero sivun ”Kosinilause” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: km:ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស |
Lisätty todistus |
||
Rivi 1:
[[Kuva:Triangle with notations.svg|thumb||300px|Kolmio, jonka symbolit ovat samat kuin viereisessä kaavassa]]
'''Kosinilause''' on mielivaltaisiin [[kolmio]]ihin laajennettu [[Pythagoraan lause]]. Kosinilause on kaava
<center><math>c^2 = a^2 + b^2 -
missä <math>\gamma</math> on kolmion jokin [[kulma]], <math>a</math> ja <math>b</math> sen viereisten sivujen pituudet, ja <math>c</math> vastakkaisen sivun pituus.
Jos <math>\gamma</math> on suora kulma, on <math>\cos (\gamma)=0</math>, jolloin kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen.
==Todistus==
[[Kuva:CosenosPorPitagoras1.svg|right|thumb|250px|Todistus noudattaa kuvan määrittelyjä]]
Olkoot ''h'':n pituus lyhin etäisyys suoralta ''c'' pisteeseen ''C''. Tällöin ''h'' voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:
<math>
\begin{align}
\begin{cases}
h^2 = a^2 - (b-u)^2 \\
h^2 = c^2 - u^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - (b-u)^2 = c^2 - u^2
\end{align}
</math>
Edelleen sieventäen:
<math>
\begin{align}
a^2 - (b^2 - 2bu + u^2) & = c^2 - u^2 \\
a^2 - b^2 + 2bu - u^2 & = c^2 - u^2 \\
a^2 - b^2 + 2bu & = c^2 \\
u & = \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}
\end{align}
</math>
Kosini kulmalle ''γ'' on määritelty kuvan mukaan seuraavasti:
<math>
\begin{align}
cos(\gamma) & = \frac{b - u}{a} \\
& = \frac{b - \frac{b^2 - a^2 + c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{\frac{2b^2}{2b} + \frac{-b^2 + a^2 - c^2}{2b}}{a} \\
& = \frac{2b^2 - b^2 + a^2 - c^2}{2ab} \\
& = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\
2ab \cdot cos(\gamma) & = a^2 + b^2 - c^2\\
\Rightarrow c^2 & = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)
\end{align}
</math>
==Katso myös==
| |||