Ero sivun ”Ulkomitta” versioiden välillä

# [[Tyhjä joukko|Tyhjälle joukolle]] pätee <math>\mu^* (\emptyset) = 0</math>

# Jos <math>A_i \subset X</math> kaikilla <math>i \in \N</math>, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcup_{i \in= 1}^\N}infty A_i \right) \leq \sum_{i \in= \N1}^\infty \mu^* (A_i)</math>.</center>

Jos <math>\mu^*\,</math> on ulkomitta <math>X</math>:ssä, niin joukkoa <math>A \subset X</math> kutsutaan <math>\mu^*\,</math>''-mitalliseksi'' jos ja vain jos kaikilla <math>E \subset X</math> pätee <center><math>{\mu}^*(E) = {\mu}^*(E \cap A) + {\mu}^*(E \cap \complement A)</math>.</center>

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi [[tyhjä joukko]] on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat [[sigma-algebra]]n. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää <center><math>\mathcal{M}_{{\mu}^*}(X) = \lbrace A \subset X \mid A \mbox{ on } {\mu}^*\mbox{-mitallinen} \rbrace ,</math> </center> missä ''X'' ilmaisee perusjoukon ja <math>\mu^*\,</math> joukossa annetun ulkomitan.

Jos <math>B_1 \subset B_2 \subset ...</math> ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia joukkoja, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (B_n)</math>.</center>

Jos <math>C_1 \supset C_2 \supset ...</math> ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia joukkoja ja <math>\mu^* (C_1) < \infty</math>, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (C_n)</math>.</center>

Jos joukot <math>A_i</math>, <math>i \in \N</math>, ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia ja erillisiä, niin <center><math>\mu^* \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu^* (A_i)</math>.</center>

* Ulkomitta <math>\mu^*\,</math> on ''säännöllinen'' jos ja vain jos jokaisella <math>A \subset X</math> on olemassa <math>\mu^*\,</math>-mitallinen joukko <math>B</math> s.e. <math>A \subset B</math> ja <math>\mu^* (A) = \mu^* (B)\,</math>. Jos vielä <math>\mu^* (X) < \infty</math>, niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko <math>A \subset X</math> on <math>\mu^*\,</math>-mitallinen jos ja vain jos <center><math>\mu^* (A) + \mu^* (\complement A) = \mu^* (X)</math>.</center>

* Jos <math>(X,d)\,</math> on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa <math>\mu^*\,</math> sanotaan ''metriseksi'' jos ja vain jos ehdosta <center><math>d(A,B) > 0\,</math></center> seuraa ominaisuus <center><math>\mu^* (A \cup B) = \mu^* (A) + \mu^* (B)</math></center> kaikilla <math>A,B \subset X\,</math>. VoidaanMetriset osoittaa,mitat että metristen avaruuksienkarakterisoivat [[Borel-joukko|Borelin mitatBorel-ulkomitat]]. ovatVoidaan metrisiäosoittaa, ulkomittojaettä ulkomitta on metrinen jos ja kääntäenvain rajattunajos mitallisiinse joukkoihinon Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. [[Hausdorffin mitta|Hausdorffin mitan]] ja [[Lebesguen mitta|Lebesguen mitan]] konstruktiossakonstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Jos <math>\mu^*\,</math> on ulkomitta joukossa X ja <math>A \subset X\,</math>, niin funktio <math>f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \}</math> on ''<math>\mu^*\,</math>-mitallinen'' jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa ''f'' ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia. Toisin sanoen joukot <math>f^{-1} (G)\,</math>, <math>f^{-1} (\{ -\infty \} )\,</math> ja <math>f^{-1} (\{ +\infty \} )\,</math> ovat <math>\mu^*\,</math>-mitallisia kaikilla [[Avoin joukko|avoimilla joukoilla]] <math>G \subset \mathbb{R}</math>.

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on <math>\mu^*\,</math>-mitallinen jos ja vain jos joukko <center><math>\lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace</math></center> on <math>\mu^*\,</math>-mitallinen kaikilla <math>c \in \mathbb{R}</math>.