Wikipedia

Ero sivun ”Yhtälöryhmä” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p AWB
Rivi 1:
'''Yhtälöryhmä''' on joukko [[yhtälö]]itä, joilla on yhteiset [[Muuttuja (matematiikka)|muuttujat]] ja jotka siis ovat ovat kaikki voimassa samaan aikaan. Muuttujien yhteisyys merkitsee sitä, että muuttujien arvojen oletetaan olevan kaikissa yhtälöissä samat. Jos kahden yhtälön ratkaisut poikkeavat toisistaan, ne eivät voi molemmat kuulua sellaiseen yhtälöryhmään, jolla on ratkaisu. Yhtälöryhmää, jossa on kaksi yhtälöä sanotaan yhtälöpariksi.
 
Yhtälöryhmän ratkaisulla tarkoitetaan, että jokaiselle ryhmässä esiintyvälle muuttujalle löydetään yksikäsitteinen arvo. On kuitenkin mahdollista, että useampikin muuttujien arvoyhdistelmä toteuttaa ryhmän yhtälöt (onhan myös esim.esimerkiksi yhtälöllä <math>\cos x = 0</math> äärettömän monta ratkaisua), joten yhtälöryhmän ratkaisemisella tarkoitetaankin usein kaikkien mahdollisten ratkaisujen löytämistä.
 
Ratkaistaan esimerkiksi ympyrän ja suoran leikkauspisteet:
Rivi 16:
Yhtälöryhmällä ei siis välttämättä ole ratkaisua laisinkaan. Ratkaisujen puute voi ilmetä esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
 
*Yksittäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisua (esim.esimerkiksi <math>x^2 = -3</math>, jos <var>x</var> on reaaliluku).
*Ryhmän yhtälöt tuottavat keskenään ristiriitaisia ratkaisuja (esim.esimerkiksi <math>x^3 = 8</math> ja <math>x - 1 = 0</math>).
*Ryhmän yhtälöistä voidaan johtaa muoto, joka on selvästi mahdoton (esim.esimerkiksi <math>x + 3 = x + 2</math>, siis <math>3 = 2</math>).
 
==Lineaarinen yhtälöryhmä==
Rivi 30:
Jotta ryhmän muuttujille olisi mahdollista löytää yksikäsitteiset arvot, ryhmässä täytyy usein olla keskenään riippumattomia yhtälöitä vähintään yhtä monta kuin tuntemattomia muuttujiakin. Kuitenkin jos esimerkiksi yhtälöiden mahdollisia ratkaisuja rajoittavat jotkin asiat, yhtälöitä ei välttämättä tarvitakaan niin monta kuin muuttujia on. Esimerkiksi yhtälöllä <math>x^2 + y^2 = 0</math> on yksikäsitteinen ratkaisu <var>x</var>:lle ja <var>y</var>:lle, jos nämä luvut ovat reaalilukuja.
 
Yhtälöiden riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei ryhmän yhtälöistä yhtäkään voi johtaa muista yhtälöistä (esimerkiksi <math>x = 3</math> &rArr;⇒ <math>x^2 = 9</math>). Jos esimerkiksi osa yhtälöistä on keskenään [[ekvivalenssi|ekvivalentteja]] eli identtisesti tosia, näistä samoista yhtälöistä voidaan poistaa kaikki paitsi yksi ja tutkia tämän jälkeen uudelleen vaatimusta yhtälöiden vähimmäismäärästä.
 
Jos yhtälöryhmässä on vähemmän tuntemattomia muuttujia kuin riippumattomia yhtälöitä, yhtälöryhmälle ei ole yksikäsitteisiä ratkaisuja. Tällöin joidenkin muuttujien arvot voivat määräytyä vasta sitten, kun muiden muuttujien arvot tunnetaan tai asetetaan.
Rivi 44:
Numeerisessa ratkaisussa tutkitaan, millä muuttujien arvoilla kaikki ryhmän yhtälöt täyttyvät yhtä aikaa. On olemassa [[algoritmi|algoritmeja]], joilla tietystä muuttujien alkuarvauksesta osataan lähteä etsimään ratkaisua ilman, että kaikkien muuttujien jokainen mahdollinen arvo käytäisiin läpi (mikä on usein mahdotontakin).
 
Symbolisesti yhtälöitä ratkaisevat tietokoneohjelmat ovat yleensä huomattavasti vaikeampia ohjelmoida kuin numeerista menetelmää käyttävät vastineensa, koska ohjelman täytyy osata ratkoa monentyyppisiä funktioita. Symbolinen menetelmä tuottaa kuitenkin mahdollisuuksien mukaan ratkaisujen tarkat arvot (esim.esimerkiksi <math>\sqrt{\pi}</math>), kun taas numeerisella menetelmällä löydetään vain likiarvoja (esim.esimerkiksi 1,7724539). Monet symboliset ohjelmat käyttävät [[Gröbnerin kanta|Gröbnerin kantoja]] polynomiyhtälöryhmien ratkaisemiseen. Lineaariset yhtälöryhmät on mahdollista ratkaista myös yksinkertaisemman [[Gaussin-Jordanin eliminoimismenetelmä]]n avulla.
 
Menetelmillä on myös omat rajoituksensa: Joitakin yhtälöitä ei ole edes mahdollista ratkaista symbolisesti (esim.esimerkiksi <math>\sin x + e^x = 3</math>), ja toisaalta tietokoneen käyttämä liukulukujen tarkkuuden pienuus voi estää löytämästä numeerista ratkaisua nopeasti tai lainkaan. Numeerista menetelmää käyttäessä voisi esimerkiksi törmätä ongelmaan, jossa jotakin jaetaan lausekkeella <math>\sqrt{3^{200} + 1} - \sqrt{3^{200}}</math>. Tämä on monen ohjelman mielestä 0, mutta jako nollalla käytännössä estää löytämästä mitään ratkaisua. Algebrallisesti yhtälöitä ratkaiseva ohjelma ei kokisi tätä lauseketta ongelmaksi lainkaan.
 
Kysymys, ratkeaako yhtälö symbolisesti vai ei, ei ole pelkästään tietokoneen ongelma. Sama rajoitus koskee myös ihmistä, sillä monille yhtälöille ei tosiaankaan ole yksinkertaisesti mahdollista saada tarkkaa ratkaisua. Tällöin sekä tietokone että ihminen joutuvat turvautumaan numeeriseen likiarvoon ja ratkaisemaan muut yhtälöt samaten likimääräisesti.
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Yhtälöryhmä”