Wikipedia

Ero sivun ”Fareyn jono” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p Fareyn siirretty sivulle Fareyn jono
Epiq (keskustelu | muokkaukset)
seulojat
21 671 muokkausta
pEi muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
Oletetaan, että m on positiivinen [[kokonaisluku]]. '''Fareyn jonolla''' F_m tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien murtolukujen[[murtoluku]]jen kasvavaa jonoa, jotka:▼
== Fareyn jonot ==
 
- ovat supistetussa muodossa (ts. osoittajan[[osoittaja]]n ja nimittäjän[[nimittäjä]]n) suurin yhteinen tekijä on 1 ja▼
Oletetaan, että m on positiivinen kokonaisluku. Fareyn jonolla F_m
▲tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien murtolukujen kasvavaa jonoa,
jotka:
 
▲- ovat supistetussa muodossa (ts. osoittajan ja nimittäjän) suurin yhteinen tekijä on 1 ja
 
- nimittäjä on pienempi tai yhtä suuri kuin m.
Rivi 14 ⟶ 10:
 
 
Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) [[John FareynFarey]]n mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä Philosophical Magazine vuonna [[1816]]. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna [[1802]]. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä.
 
Fareyn jonossa tiettyä lukua välittömästi seuraava luku tai sitä välittömästi edeltävä luku voidaan laskea tehokkaasti ns. alkeislukuteoriaan perustuvan algoritmin avulla. Tämä algoritmin esitys ja todistus löytyvät lähteestä [1]. Samassa lähteessä kerrotaan myös Fareyn jonojen yhteydestä ns. egyptiläisten murtolukujen ongelmaan ja yhteen nykyisen lukuteorian keskeisimmistä todistamattomista väittämistä, Riemannin hypoteesiin.
 
'''===Lähteet:''' ===
 
*[1] '''Matti K. Sinisalo:''' Fareyn luvut ja Mathematica, julkaisussa Logiikka, matematiikka ja tietokone - Perusteet, historiaa, filosofiaa ja sovelluksia, Suomen Tekoälyseuran julkaisuja, Symposiosarja, No 14, 1996, pp. 243-249 ([http://www.geocities.com/mattiksinisalo/farey2.pdf PDF])
 
[[Luokka:Matematiikka]]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Fareyn_jono”