Versio 3. tammikuuta 2008 kello 18.17 muokkaa 80.221.22.240 (keskustelu) Ei muokkausyhteenvetoa ← Vanhempi muutos		Versio 4. helmikuuta 2008 kello 23.25 muokkaa kumoa 80.221.22.240 (keskustelu) Ei muokkausyhteenvetoa Uudempi muutos →
Rivi 1: '''Mittateoria''' on [[matematiikka\|matematiikan]] ala, joka tutkii [[sigma-algebra\|sigma-algebroja]], [[mitta\|mittoja]], [[ulkomitta\|ulkomittoja]], [[ulkomitta\|mitallisia funktioita]] ja [[integraali\|integraaleja]]. Mittateoriaa käytetään erityisen paljon analyysissä ja [[todennäköisyyslaskenta\|todennäköisyyslaskennassa]]. == Historiaa == Mittateoria on alunperin kehittynyt ongelmasta määritellä vaikeille joukoille 'koko', jota voisi intuitiivisesti ajatella esimerkiksi pinta-alana/tilavuutena. Mittateoreettisia ajatuksia esiintyi jo antiikin Kreikassa, kun Arhimedes halusi määrittää tarkkaa arvoa ympyrän pinta-alalle. Hän itseasiassa kehitti alkeellista integrointia muistuttavan [[ekhaustiomenetelmä\|ekshaustiomenetelmän]]. Kuitenkin itse ala on 1900-luvun keksintö. Mittateorian pioneereihin kuuluu mm. [[Henri Lebesgue]], [[Georg Cantor]], [[Émile Borel]], [[Constantin Carathéodory]] ja [[Alfred Haar]]. Henri Lebesgue kehitti mm. vallankumouksellisen [[Lebesguen mitta\|Lebesguen mitan]] ja -[[Lebesguen mitta\|integraalin]], joiden historiasta on enemmän artikkelissa [[Henri Lebesgue]]. Georg Cantor ja Émile Borel määrittelivät myöhemmin [[ulkomitta\|mitalliset joukot]] ja [[Borel-joukko\|Borel-joukot]]. Constantin Carathéodory kehitti mittateorian yleistä teoriaa määrittelemällä mm. [[ulkomitan\|ulkomitta]] ja yleisen [[mitta\|mitan]]. Alfred Haar tunnetaan [[Haarin mitta\|Haarin mitasta]], jonka avulla voidaan määritellä eräänlainen intuitiivisesti pinta-alan/tilavuuden kaltainen käsite [[lokaalikompakti\|lokaalikompakteihin]] [[topologinen ryhmä\|topologisiin ryhmiin]]. Osoittautuikin, että mittateorian määritelmät sopivat hyvin vastaamaan monimutkaisten ja patalogisten joukkojen geometriaan. Sillä pystyttiin määrittelemään joukoille mm. dimensio, joka kertoo enemmän joukon hienorakenteesta. Tästä enemmän artikkelissa [[Hausdorffin dimensio]]. Itseasiassa vuonna 1919 [[A.S. Besicovitch]] kehitti [[geometrinen mittateoria\|geometrisen mittateorian]] vastaamaan joukkojen ja mittojen geometrisiin kysymyksiin. Mittateoriasta on ollut hyötyä paljon soveluksissa. Mittateorian synty mullisti mm. [[todennäköisyyslaskenta\|todennäköisyyslaskennan]]. [[Andrei Kolmogorov]] kehitti todennäköisyyslaskennalle mittateoreettiset aksioomat ja määritteli ''todennäköisyyden'' [[mitta\|mittana]] ja ''tapahtumat'' [[sigma-algebra\|sigma-algebrana]]. Nykyään todennäköisyyslaskennan mittateoreettista tutkimusta kutsutaan [[todennäköisyysteoria\|todennäköisyysteoriaksi]]. == Käsitteitä == Rivi 26 ⟶ 34: * [http://mathworld.wolfram.com/Integral.html MathWorld. Integral] * [http://mathworld.wolfram.com/HoeldersInequalities.html MathWorld. Hölder's Inequalities] * [http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=lebesgue <nowiki>Henri Léon Lebesgue (28 juin 1875 [Rennes] - 26 juillet 1941 [Paris])</nowiki>] ''([[ranskan kieli\|ranskaksi]])'' [[Luokka:Mittateoria]]

Ero sivun ”Mittateoria” versioiden välillä