Ero sivun ”Eksponenttifunktio” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p ylimääräinen pilkku pois.. |
→Funktion kulku: lisätty tieto jatkuvuudesta + pientä muotoilua |
||
Rivi 29:
==Funktion kulku==
Koska eksponenttifunktio kuuluu alkeisfunktioihin ja on määritelty kaikilla muuttujan x [[reaaliluku|reaalisilla]] arvoilla, on se kaikkialla [[jatkuva funktio|jatkuva]].
Funktion [[kuvaaja]] [[koordinaatisto|(x,y)-koordinaatistossa]] on myös kaikkialla x-akselin yläpuolella, sillä eksponenttifunktio voi kantaluvusta riippumatta saada vain positiivisia arvoja.
Lisäksi kuvaajalta tunnetaan nämä kaksi pistettä:
:<math>f(0)=a^0=1,\!\,</math>▼
* Kun <math>x=0</math>, funktio saa arvon yksi, sillä mikä tahansa luku (paitsi nolla, joka ei voi olla kantalukuna) potenssiin nolla on yksi:
* Kun taas <math>x=1</math>, tulee funktion arvoksi sen kantaluku:
:<math>f(1)=a^1=a.\!\,</math>
Näin ollen eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteiden <math>(0,1)</math> ja <math>(1,a)</math> kautta.
Jos kantaluku <math>a>1</math>, niin kuvaaja on aidosti kasvava. Oikealle mentäessä kuvaaja nousee kohti äärettömyyttä. Vasemmalle mentäessä kuvaaja lähestyy x-akselia yläpuolelta, mutta koska funktio ei voi saada arvoksi nollaa, kuvaaja ei koskaan saavuta x-akselia. Niinpä x-akseli on kuvaajan vaakasuora [[asymptootti]] ja funktion [[raja-arvo]] positiivisessa äärettömyydessä on äärettömyys, negatiivisessa äärettömyydessä nolla. Raja-arvot ovat siis matemaattisesti ilmaistuna seuraavat:
Rivi 44 ⟶ 46:
:<math>\lim_{x\to -\infty} f(x)=0.</math>
Jos taas <math>0<a<1</math>, niin
:<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=0,</math>
| |||