Wikipedia

Ero sivun ”Kontinuumihypoteesi” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
(Näytä kaikki arviointia odottavat muutokset)
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
SieBot (keskustelu | muokkaukset)
155 348 muokkausta
p Botti lisäsi: hr:Hipoteza kontinuuma
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
'''Kontinuumihypoteesi''' on [[Georg Cantor]]in esittämä väite, joka koskee äärettömien joukkojen kokoja. Cantor esitteli [[mahtavuus|mahtavuuden]] käsitteen vertaillakseen äärettömien joukkojen kokoja ja osoitti, että [[kokonaisluku]]jen joukon mahtavuus on pienempi kuin [[reaaliluku]]jen. Kontinuumihypoteesi on seuraava väite:
{{lähteetön}}
 
:Ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus on suurempi kuin kokonaislukujen joukon, mutta pienempi kuin reaalilukujen joukon.
'''Kontinuumihypoteesi''' tarkastelee [[numeroituvuus|numeroituvasti]] äärettömän ja 1. asteen [[ylinumeroituvuus|ylinumeroituvan]] joukon eli nk. kontinuumin [[mahtavuus|mahtavuutta]] (esimerkkeinä tällaisista joukoista ovat [[rationaaliluku]]jen ja [[irrationaaliluku]]jen joukot). Hypoteesi väittää, että ei ole olemassa joukkoa, joka olisi mahtavuudeltaan näiden välissä. On osoitettu, ettei kontinuumihypoteesiä voida todistaa sen enempää oikeaksi kuin vääräksikään.
 
Matemaattisessa tekstissä kokonaislukujen mahtavuutta merkitään <math>\aleph_0</math> (luetaan [[alef-nolla]]) ja reaalilukujen mahtavuutta merkitään <math>2^{\aleph_0}</math> (reaalilukujen joukon mahtavuus on siis sama kuin kokonaislukujen joukon [[potenssijoukko|potenssijoukon]]. Nyt voimme esittää kontinuumihypoteesin seuraavassa muodossa:
 
:Ei ole olemassa joukkoa <math>S</math>, siten että <math> \aleph_0 < |S| < 2^{\aleph_0}.</math>.
Tämä väite on yhtäpitävä väitteen <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> kanssa.
 
==Todistamattomuus==
 
[[Georg Cantor]] uskoi kontinuumihypoteesin pitävän paikkaansa ja yritti monta vuotta todistaa tätä, mutta tuloksetta. [[David Hilbert]] otti otaksuman ensimmäiseksi listaansa [[Hilbertin ongelmat|avoimista ongelmista]], jotka hän esitti kansainvälisissä matemaattisessa kongressissa Pariisissa vuonna [[1900]].
 
[[Kurt Gödel]] osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesiä ei voida todistaa vääräksi [[Zermelon-Frankelin joukko-oppi|Zermelon-Frankelin joukko-opissa]] vaikka mukaan liitettäisiin [[valinta-aksiooma]]. [[Paul Cohen]] osoitti vuonna 1963 että kontinuumihypoteesiä ei myöskään voida todistaa oikeaksi samassaZermelon-Fraenkelin aksioomasysteemissäjoukko-opissa. Siten kontinuumihypoteesi on riippumaton [[ZFC|valinta-aksioomalla laajennetusta Zermelon-Fraenkelin joukko-opista]]:stä. Molemmat tulokset olettavat Zermelon-Frankelin aksioomien olevan ristiriidattomia. Aksioomien ristiriidattomuuden uskotaan yleisesti pitävän paikkaansa.
 
Kontinuumihypoteesi on läheisessä suhteessa monien [[analyysi]]n tulosten kanssa, [[pistejoukkotopologia]]ssa ja [[mittateoria]]ssa. Hypoteesin riippumattomuuden perusteella monien muiden otaksumien on myös osoitettu olevan riippumattomia aksiomisysteemistä.
 
==Lähteet==
* Gödel, Kurt: 'The Consistency of the Continuum-Hypothesis' Princeton University Press 1940
* McGough, Nancy: [http://www.ii.com/math/ch/ Continuum Hypothesis]
 
 
[[Luokka:Joukko-oppi]]
[[Luokka:Hilbertin ongelmat]]
 
{{tynkä/Matematiikka}}
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kontinuumihypoteesi”