Ero sivun ”Cantorin joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Suositeltu artikkeli -tähti: he:קבוצת קנטור |
viilaus |
||
Rivi 1:
'''Cantorin joukko''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[Saksa|saksalaisen]] matemaatikon [[Georg Cantor]]in vuonna [[1883]]<ref>Georg Cantor, ''On the Power of Perfect Sets of Points'' (''De la puissance des ensembles parfait de points''), Acta Mathematica 4 (1884) 381--392. Englanninkielinen käännös kirjassa ''Classics on Fractals'', ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7</ref> esittämä merkittävä välillä [0,1] olevien [[luku]]jen konstruktio.
== Cantorin joukon määritelmä ==
Cantorin joukko määritellän siten, että yksikköväli jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan äärettömyyksiin. Cantorin joukko koostuu jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä.▼
▲Cantorin joukko määritellän siten, että yksikköväli [0,1] jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit [0, 1/3] ja [2/3, 1] jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan
Prosessin kuusi ensimmäistä vaihetta on kuvattu alla:
Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Tämä saadaan [[geometrinen sarja|geometrisenä sarjana]]▼
[[Kuva:Cantor_set_in_seven_iterations.svg]]
== Mitä Cantorin joukkoon kuuluu? ==
▲Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä, jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Tämä saadaan [[geometrinen sarja|geometrisenä sarjana]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1,</math>
joten Cantorin joukon mitta on 1 – 1 = 0. Toisaalta
Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistetun välin pituus on sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on [[avoin joukko]]
== Viitteet ==
<references />
== Aiheesta muualla ==
▲Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistetun välin pituus on sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on [[avoin joukko]], eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0; 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteita, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Siten tiedämme varmasti, että Cantorin joukko ei ole tyhjä.
* [http://mathworld.wolfram.com/CantorSet.html MathWorld: Cantor set] {{en}}
{{tynkä/Matematiikka}}
Rivi 27 ⟶ 39:
[[ko:칸토어 집합]]
[[it:Insieme di Cantor]]
[[he:קבוצת קנטור]]
[[nl:Cantorverzameling]]
[[ja:カントール集合]]
Rivi 35 ⟶ 47:
[[sl:Cantorjeva množica]]
[[sv:Cantormängden]]
[[th:เซตคันทอร์]]
[[uk:Множина Кантора]]
| |||