Ero sivun ”Lineaarinen riippumattomuus” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Talteen |
W&C |
||
Rivi 49:
Koska determinantti ''ei ole'' nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis riippumattomia.
=== Wronskin ja Caseratin determinantit ===
Jatkuvien funktioiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen voidaan käyttää '''Wronskin determinanttia'''. Joukolle funktioita <math>\{f_1(x), f_2(x), ..., f_N(x)\}\,</math> se määritellään funktioista ja niiden [[derivaatta|derivaatoista]] muodostuvaksi determinantiksi
:<math>W = \det\begin{bmatrix}
f_1(x)& f_2(x)& ...& f_N(x)\\
f'_1(x)& f'_2(x)& ...& f'_N(x)\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f^{(n)}_1(x)& f^{(n)}_2(x)& ...& f^{(n)}_N(x)
\end{bmatrix}</math>.
Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä ''x'':n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti näyttelee tärkeää osaa [[differentiaaliyhtälö]]iden teoriassa. Jos <math>\{f_n^{[1]}, f_n^{[2]}, ..., f_n^{[N]}\}\,</math> on ''N'' funktiota sisältävä joukko [[diskreetti funktio|diskreettejä funktioita]], niiden lineaarista riippuvuutta testaa '''Casoratin determinantti'''
:<math>C = \det\begin{bmatrix}
f_n^{[1]}& f_n^{[2]}& ...& f_n^{[N]}\\
f_{n+1}^{[1]}& f_{n+1}^{[2]}& ...& f_{n+1}^{[N]}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
f_{n+N-1}^{[1]}& f_{n+N-1}^{[2]}& ...& f_{n+N-1}^{[N]}
\end{bmatrix}</math>
Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot <math>f_n^{[i]}</math> ovat riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.
[[Luokka:Lineaarialgebra]]
| |||