Ero sivun ”Laskutoimitus” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
juuren ottaminen ei ole laskutomitus |
p Muutos oli täyttä roskaa |
||
Rivi 1:
'''Laskutoimitukseksi''' eli operaatioksi kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. [[aritmetiikka|
* [[yhteenlasku]]
* [[vähennyslasku]]
* [[kertolasku]]
▲Muita yleisiä alkeislaskutoimituksia ovat mm.:
* [[potenssi|potenssiin korotus]]
==Formaali määritelmä==
Laskutoimituksen määritelmä vaihtelee kirjallisuudesta riippuen. Yleensä joukossa <math>E</math> ''f'':ää sanotaan laskutoimitukseksi jos ''f'' on kuvaus <math>E\times E\to E</math> (Kalevi Suominen: Algebra II). Lisäksi epätyhjälle joukolle ''V'' ja kunnalle ''K'' voidaan määritellä laskutoimitus kuvauksena <math>K\times V\to V</math> (Keijo Väänänen: Lineaarialgebra I). Toisinaan myös sisätuloa voidaan kutsua laskutoimitukseksi. (Vesa Mustonen: Analyysi II)
Huomaa, että näiden määritelmien mukaan laskutoimitus on voidaan muodostaa vain kahden joukon välille. Määritelmän mukaan kuvaus
:<math>\omega: X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n \rightarrow Y, \, </math>
ei ole laskutoimitus. Niin ikään määritelmästä seuraa, että reaalilukujen jakolasku ei ole laskutoimitus, mutta joukossa <math>R\setminus \{0\}</math> määritelty tavanomainen jakolasku on laskutoimitus. [[Joukko|Joukkoja]] <math>X_1, X_2</math> kutsutaan määrittelyjoukoiksi ja joukkoa <math>Y \, </math> kutsutaan maalijoukoksi. [[Binäärioperaatio|Binäärioperaatiot]] ovat esimerkkejä usein käytetyistä laskutoimituksista. Rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona <math> \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} - \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{Q} </math> on esimerkki laskutoimituksesta, joka ei ole binäärioperaatio.
Laskutoimitukset voivat käsitellä myös muitakin kuin lukuja. Esimerkiksi käy [[vektori|vektorien]] kertominen [[skalaari|skalaarilla]] tai kahden tai useamman joukon joukko-opillinen leikkaus.
===Operaatio ja operaattori===
''Operaatiolla'' tarkoitetaan yleensä laskutoimitusta, joissa kiinnostus kohdistuu niiden laskutoimituksellisiin ominaisuuksiin, kuten esimerkiksi alkeislaskutoimituksissa. Esimerkiksi yhteenlaskussa tärkeintä on löytää kahden yhteenlaskettavan luvun summa. Vaikka laskutoimitus määriteltäisiinkin täsmällisesti funktiona, niin operaatioiden yhteydessä laskutoimituksella voidaan tarkoittaa myös itse laskua, kuten esimerkiksi mrekintää <math>1+2=3</math>.
''Operaattorilla'' tarkoitetaan yleensä laskutoimitusta, jonka arvoista ei suoranaisesti olla kiinnostuneita, vaan mielenkiinto kohdistuu operaattoreiden muodostaman joukon ominaisuuksiin. Esimerkiksi käy [[Banachin avaruus|Banachin avaruuden]] jatkuvat [[funktionaali|funktionaalit]], joiden arvoista ei sinänsä olla kiinnostuneita, vaan mielenkiinto kohdistuu niiden muodostamaan [[duaaliavaruus|duaaliavasruuteen]], jossa funktionaaleille on määritelty laskutoimituksia.
Operaatio ja operaattori jako on lähinnä tarkestelutapaan liittyvä, joten kyseessä ei ole mikään täsmällinen erottelu.
{{Korjattava}}
|