Ero sivun ”Syklinen ryhmä” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: eo:Cikla grupo, ja:巡回群, pt:Grupo cíclico |
Lisätty ominaisuuksia ja luonnehdintaa. Poistettu maininnat eri notaatioista. |
||
Rivi 1:
'''Syklinen ryhmä''' on yhden alkion generoima [[ryhmä (algebra)|ryhmä]]. On siis olemassa ryhmän ''G'' alkio ''a'', jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot.
:<math>G = \langle a \rangle = \left\{ a^n \ | \ n \in \Z \right\}. \ </math>
Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy [[aliryhmä|aliryhminä]] kaikista ei-triviaaleissa ryhmissä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan [[Abelin ryhmä|Abelin ryhmien]] rakennuspalikoita [[suora tulo|suorien tulojen]] kautta ja [[ratkeava ryhmä|ratkeavien ryhmien]] perusosasia [[kompositioketju|kompositioketjun]] tekijöinä.
Syklinen ryhmä voi koostua joko ''n'':stä alkiosta <math>C_n = \langle c \rangle = \left\{1,c,...,c^{n-1}\right\}</math>, tai se voi olla ääretön ryhmä <math>C_\infty = \langle c \rangle = \left\{c^m |\ m\in\mathbb{Z}\right\}</math>.
==Kertalukua ''n'' olevan syklisen ryhmän konstruointi==
Olkoon <math>X \ </math> mielivaltainen ''n'' alkiota sisältävä [[joukko]], missä ''n'' on mielivaltainen [[kokonaisluku]]. Numeroidaan joukon alkiot
:<math> X = \left\{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1} \right\} </math>
ja asetetaan joukkolle <math>X \ </math> [[binäärinen operaatio]] <math> * \ </math> seuraavasti:
:<math>x_k * x_l =x_{k+l}, \ </math> mikäli <math>k+l \leq n-1</math> ja
:<math>x_k * x_l =x_{k+l-n}, \ </math> mikäli <math>k+l > n-1 \ </math>
kaikilla kokonaisluvuilla <math>0 \leq k,l \leq n-1 . \ </math> Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari <math>(X,*) \ </math> toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio <math>x_0 \ </math> on ryhmän neutraalialkio, alkion <math>x_k, 1 \leq k \leq n-1 \ </math> käänteisalkio on alkio <math>x_l, \ </math> missä <math>l=n-k.\ </math> Lisäksi alkio <math>x_1 \ </math> generoi ryhmän <math>X. \ </math>
== Syklisten ryhmien ominaisuuksia ==
*Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. [[Abelin ryhmä|Abelin ryhmiä]].
*Kaikki syklisen ryhmän [[aliryhmä|aliryhmät]] ja [[tekijäryhmä|tekijäryhmät]]
*Kaksi äärellistä ryhmää ovat keskenään [[isomorfia|isomorfisia]] jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua ''n'' olevat äärelliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
*Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
*Äärellinen syklinen ryhmä on [[yksinkertainen ryhmä|yksinkertainen]] jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itseasiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset [[ratkeava ryhmä|ratkeavat]] ryhmät.
Olkoon jatkossa <math>C_n = \langle c \rangle</math> kertalukua ''n'' oleva syklinen ryhmä.
*Jokaista kertaluvun ''n'' jakajaa ''k'' kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän <math>C_n \ </math> kertalukua ''k'' oleva aliryhmä. Jos <math>n=km</math>, missä ''m'' on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua ''k'' oleva aliryhmä on <math>\langle c^m \rangle .</math>
*Jokaista kertaluvun ''n'' jakajaa ''k'' kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän <math>C_n \ </math> kertalukua ''k'' oleva tekijäryhmä.
*Ryhmän <math>C_n \ </math> [[automorfismien ryhmä]] on isomorfinen ryhmän <math>\Z_n^*</math> kanssa.
{{tynkä/Matematiikka}}
| |||